مجله زمین شناسی مهندسی،جلد اول، شماره 1 بهار 1382

مدل سازی مسائل آب زیرزمینی با صفحۀ گسترده

محمد نخعی
گروه زمین شناسی دانشگاه تربیت معلم
تاریخ: دریافت 15/4/81 پذیرش: 10/2/82 چکیده
1268732149348

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

صفحۀ گسترده ، ابزار ی کاربردی برای حل مسائل جریان پایدار محبوس آب زیرزمینی است. روش کار بسیار ساده است، اما در عی ن حال بسیاری از شرایط جریان شامل نایکسانی، ناهمگنی، وجود منابعتخلیه و تغذیه و اشکال هندسی پیچیده را در بر می گیرد. به علاوه، چون معادلات صفحۀ گسترده بهصورت دستی برنامه نویسی می شوند کاربر درک فیزیکی بسیار خوبی از مسأله خواهد داشت، معادلاتحاکم برای شرایط جریان ناهمگن و نایکسان ایجاد می شوند. فرموله کردن ریاضی شرایط مرزی و درنظرگرفتن تخلیه وتغذیه در مدل سازی صفحه گسترده ارائه شده و حساسیت حل به انتخاب فواصل نقاطشبکه بندی شده و دقت جواب بررسی گردیده است. در پایان مزایا و محدودیتهای این روش در مقایسهبا مدلهای عددی دیگر مقایسه گردیده است.

مقدمه
شبکه جریان، که از مجموعه ای ازخطوط جریان وخطوط هم پتانسیل ساخته شده، حلی ترسیمی از جریان پایدارآب زیرزمینی است. آبشناسان، در حال حاضر، روشهای متعددی برایساختن شبک ۀ جریان دردست دارند. شبکه جریان را می توان با روشهای دستی یا با حل دقیقبه روش تحلیلی و یا به روشهای عددی ترسیم کرد. اگرچه حل ترسیمی شبکۀ جریان به روش دستی برای درک مطلب، ابزارآموزشی بسیارمناسبی است، ولی روش وقت گیری است و کاربرد آن درشرایط زمین ناهمگن به دقت و تجربۀ کافی نیاز دارد. راه حل های تحلیلی برای بسیاری از مسائل آب زیر زمینی به وسیلۀ هار 1962 [5] برای شرایط محدود در محیط متخلخل همگن وهمسان بـا شرایط مـرزی ساده ارائـه شده است. روشهای مـدل سازی عددی برای حل

کلمات کلیدی: آبهای زیرزمینی، نشت، هدایت هیدرولیکی، مدل سازی عددی، صفحه گسترده
مسائل آب زیرزمینی در شرایط ناهمگن و ناهمسان با شرایط مرزی پیچیده به کار می روند و بسیارقابل اطمینان هستند و به سرمایه، وقت زیاد و نیروی متخصص نیاز دارد. بنابراین مزایای این روشهای عددی سبب شده است که مدلهای از قبل نوشته و تهیه شدهبه صورت تجاری در اختیار کاربرها قرار گیرد.
1268732149348

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

نرم افزارهای صفح ۀ گسترده متعددی برای کامپیوترهای شخصی در دسترس است کهمی توان از آنها برای بسیاری از مسائل مهندسی استفاده کرد. کتاب »ولف 1995« [11] نیز برای مشاهده مثالهای متنوع مرجع مناسبی از مسائل مهندسی با صفحۀ گسترده است. بعلاوه مسائل آب زیرزمینی را می توان به کمک نرم افزارهای صفحۀ گسترده نظیر اکسل حل کرد و اگرجواب بسیار دقیق مورد نیاز نباشد، این روش جانشینی مناسب به جای روشهای پیشرفتهمدل سازی عددی است. گاهی اوقات آب شناس در مراحل ابتدایی طراحی پروژه خود از روشصفحۀ گسترده استفاده کمی ند و بعد از شناخت مفاهیم اصلی مسأله از مدل عددی تجاریبرای ب ه دست آوردن حل دقیق کمک می گیرد که این کار سبب صرفه جویی در وقت و هزینهخواهد شد.
هدف این مقاله ارائۀ روشهای عمومی حل مسائل جریان پایدار و محبوس با استفاده ازصفحۀ گسترده است. روش کار بسیار ساده است و می توان آن را برای حل مسائل آبزیرزمینی در آبخوان ناهمگن، ناهمسان، با وجود چاه پمپاژ و شکلهای هندسی پیچیده نیز به کار برد . معمولاَ چون معادلات صفحۀ گسترده با دست برنامه نویسی می شوند، استفاده کننده از صفحۀ گسترده درک عمیقی از فیزیک مسأله به دست میآورد. معادلات حاکم برای شرایطکلی جریان ایجاد می شوند و شامل رفتار مرزها نیز هست. کاربرد روش با حل سه مثال در اینمقاله شرح داده می شود. چگونگی حساسیت حل دراین روش به انتخاب فواصل گره ها وانتخاب دقت جواب نهایی، آزمایش خواهد شد. در پایان نیز علاوه بربحث در بارۀ مزایا ومحدودیتهای روش، با روشهای حل عددی دیگر مقایسه می شود.
ایجاد معادلات صفحه گسترده
معادله عمومی توصیف کنندۀ جریان پایدار مایعات در محیط متخلخل در شرایط دو بعدی، ناهمگن و نایکسان با رابطۀ دیفرانسیل زیر بیان میشود:
∂∂x(Kx ∂∂hx)+∂∂z(Kz ∂∂hz)=0 (1)
در ا ین معادله [معادله(1)] Kx و Kz به ترتیب ضرایب هدایت هیدرولیکی در جهاتx وz ، وh بار آبی کلی را نشان می دهند. فرض بر این است که جهات اصلی هدایت هیدرولیکیهم جهت با جهات سیستم مختصات است و قانون دارسی معتبر است. این معادله معمولاَ باروشهای حل عددی نظیر تفاضلهای محدود و اجزاء محدود حل می شود. در هر دو روشعددی، دامنۀ حل توسط مجموعه ای از چند گره یا نود به دامنه های کوچکتر تقسیم می گردد ومعادلۀ دیفرانسیل حاکم به معادلات جبری مربوط به نودها تبدیل می شود. برای هر گره یا نود معادلهای بر حسب مجهولh نوشته می شود و در نتیجه یک مجموعۀ سیستم معادلات ی بهتعدادN معادل ۀ خطی که مربوط بهN مجهول است به دست می آید. با حل این سیستممعادلات N تایی به روشهای مستقیم و تکرار N مجهول به دست خواهند آمد.
1268732149348

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

برای اطلاعات بیشتر در باره این روشها به مراجعی نظیر »وانگ واندرسون 1982« [8]،
»دسایی 1977« [3] و »بیر و وروئیت 1987« [2] مراجعه شود.
بر اساس مقاله »ویلیامز و همکاران 1993« [10]، صفح ۀ گسترد ۀ کامپیوتری نیز برای حلمسایل آب زیرزمینی با ایجاد الگویی از روش تفاضلهای محدود به کار می رود. روش حل باصفحۀ گسترده که در اینجا شرح داده میشود، بیشتر به روش ارائه شده به وسیلۀ »فریز وچری 1979« [4] مرتبط و نزدیک است. در این روش دامنه مسأله با استفاده از تعدادی گره بهچندین سلول تقسیم می شود. چون حل بر روی یک صفحۀ گسترده انجام می گیرد، لزوماًسلولها بای د به شکل بلوکهای مستطیلی باشند. رابطۀ با رآبی کلی درهر بلوک داخلی با استفادهاز اصل بقای جرم وجمع جبری جریان ورودی از بلوکهای مجاور به دست آمده است . بنابراین بار آبی نشان داده شده در هر سلول صفح ۀ گسترده ، منطبق بر مرکز آن سلول است. سپس معادلات صفح ۀ گسترده با تکرار محاسبات درصفحۀ گسترده به صورت دستی که روش آن درانتهای مقاله در بخش”روش حل با صفحه گسترده”شرح داده شده است، تا رسیدن به دقتمورد نیاز تکرار می گردد. در اینجا تعداد تکرار به دقت مورد نیاز انتخاب شده، یعنی اختلافبارآبی میان تکرارهای متوالی بستگی دارد. از این پس روش ایجاد معادلات مربوط به بلوکهای داخلی، بلوکهای مجاور انواع مرزهای بار ثابت و نفوذ ناپذیر و چاه پمپاژ شرح داده می شود.

معادلۀ بلوکهای داخلی دور از مرزها
شکل (1) روش ایجاد معادلۀ بار آبی کلی را در بلوکهای داخلی که از مرزها دورند بااستفاده از اصل بقای جرم برای شرایط جریان دو بعدی ، همگن و یکسان نشان می دهد. مقطع کوچکی از دامنۀ گره بندی شده با طولx ∆ در جهت افقی وz ∆ در جهت عمودی نشان دادهشده است . هر بلوک از دامنۀ جریان در شرایط صحرا یک سلول از صفحۀ گسترده است. میزان بار آبی مجهول دربلوک 1 از حاصل جمع دبی ویژه( دبی در واحد عرض ) ورودی از بلوکهایمجاور به دست می آید. دبی ویژه ورودی از بلوک2 به بلوک1 که با 21q نمایش داده میشود با عرض واحد در جهت z با استفاده از قانون دارسی از این معادله به دست می آید:
q21 =K h2∆−xh1∆z
1268732149348

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

که در این رابطهK ضریب هدایت هیدرولیکی مواد متخلخل، 2h بار آبی کلی در بلوک2 و 1h بار آبی در بلوک1 است. با در نظر گرفتن میزان دبی ویژه ورودی از بلوکهای مجاور مجموعکلی دبی ورودی به بلوک1 ، q1in بدست می آید.
qq1in ==qK21h2+−q31h1+∆zq41+K+qh513∆−zh1∆x+K h4∆−xh1∆z+K h5∆−zh1∆x=0
1in∆x
برای شرایط جریان پایدار،q1in بای د برابر صفر باشد. در نتیجه با قرار دادن معادلۀبرابر صفر و حل آن برایh1 با استفاده از نرم افزارMathematica 4.0 به راحتی می توان نوشت:
h1 = 12 (∆z)2(h2(+∆zh)42)++((∆∆xx))22(h3 +h5)
اگر بلوک ها به صورت مربعی شکل باشند x=∆z)∆) ، آنگاه داریم:
h1 =

(h2 +h3 +h4 +h5)

810768500662

معادلۀ (5) را ” عمل گر 5 نقطه ای “مینامند که از حل معادله لاپلاس با روش تفاضلهایمحدود برای شرایط همگن و یکسان نیز قابل استخراج است و در کتب »بیر 1972«[1] و »وانگ و اندرسون 1982 « [8] آورده شده است.

شکل (1) محاسبات جریان در محیط همگن و یکسان
1268732149348

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

توجه شود که معادلۀ 5 با استفاده ازقانون دارسی و معادل ۀ پیوستگی بدون استفاده از معادلهلاپلاس ب ه دست آمده است. استخراج روابط ریاضی در دو روش بلوک بندی و تفاضلهایمحدود برای جریان درمحیط همگن و یکسان اختلاف بسیار کمی دارند. اگرچه مزیتهای روش بلوک بندی به لحاظ کاربردی در مسائل پیچیده محیط نایکسان و ناهمگن آشکار خواهد شد.
معادلات 4 و 5 نشان می دهند که 1h به عنوان متوسط وزنی بار آبی کلی از بلوکهای مجاور است. در معادله 5 ضریب وزنی هر کدام از بلوکهای مجاور برابر ¼ است. این ضریب ¼ تنها برای شرایط جریان دو بعدی پایدار در محیط یکسان، همگن، که هر بلوک توسط چهار بلوکمجاور احاطه شده صادق است؛ زیراکه تمام چهار بلوک مجاور به طور مساوی در ایجاد بارآبی در بلوک1 شرکت پذیری دارند. برای شرایط دیگر ضریب وزنی دیگر ¼ ن یست و به آنشرایط متفاوت بستگی دارد. به هر حال چنانکه در معادله 5 دیده می شود، مجموع ضرایبوزنی در معادله مربوط به هر بلوک باید برابر یک باشد.

مرزهای نفوذ ناپذیر
با استفاده از روش بلوک بندی معادل ۀ مرزهای نفوذ ناپذیر به راحتی ایجاد می شوند. شکل
(2) نشان دهندۀ شکل هندسی سه نوع معمول شرایط مـرزی نفوذ ناپـذیر است.
برای یک مرزخطی نفوذ ناپذیر شکل (2- a ) دبی ورودی به بلوک1 به صورت زیر بهدست می آید:
q1in =q21 +q31 +q41 q1in =K h2∆−xh1∆z+ K h3∆−zh1∆x+ K h4∆−xh1∆z=0 (6)
برای شرایط جریان پایدار،q1in بای د برابر صفر باشد. در نتیجه با قرار دادن معادله (6) برابر صفر و حل آن برای 1h می توان نوشت:
h1 = (∆z)2(2h(2∆+z)h24+)+(∆(x∆)x2)2(h3) (7)
1268732149348

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

Downloaded from jeg.khu.ac.ir at 11:40 IRST on Saturday October 28th 2017

اگر بلوک ها به صورت مربعی شکل باشند، آنگاه 1h به صورت زیر به دست می آید:

)
(
3
1
4
3
2
1
h
h
h
h
+
+
=

)
8
(

شکل
)
2
(
ناپذیر

نفوذ

مرزهای

)

(

3

1

4

3

2

1

h



قیمت: تومان

دسته بندی : زمین شناسی

دیدگاهتان را بنویسید