تحليل ارتعاشات آزاد ورقهاي بيضوي ساخته شده از مواد FGM
شاهرخ حسيني هاشمي1، سيد رسول آتشيپور2*، محمود كريمي3، مهدي اسحاقي4

استاد، دانشكده مهندسي مكانيك، دانشگاه علم و صنعت ايران
دانشجوي دكتري، دانشكده مهندسي مكانيك، دانشگاه علم و صنعت ايران
كارشناس ارشد ،شركت مهندسي و ساخت توربين مپنا (توگا)
دانشجوي دكتري، دانشكده مهندسي مكانيك، دانشگاه كنكورديا
چكيده
) %* ( FGM !”# $ %& ‘
: ; : 6:< : $ 2:= $ : >!:? + 9!%# 7+ 8 .6′ $ 4 ’23 1 0% / “, !- . + : F B E B 9! ’23 D !% ( 3 6′ 6 < $ 6’ 9 BC @A 3 #
9A 8 L A < K ‘ %’ + J FGM 9F A F H & 3 6′ $ I # . E < $ G%’ $ ‘ $ E :< 9 :’ $ S “= 0% / “, !- . 9 R” . !39 P 6 *Q %’ $ A ‘ 9″MN O3
R” 8 ! , V U N W %A 8 , O T MA $ 4 N 6 U 6′ %# E
T :MA N 6 U L ” W %A Q N U N W %A O FA “Q .6′ $ 9’ FGM
9 : BC @A 3 # H & 9!R” Y % + ‘ ! X L + . !39 FGM $ L : % /L : % + L : % + /L : % L : % /L : % ; :N Z F 6′ %# E < V .6′ $ 4 L % + /L % + فركانس طبيعي، روش چند جملهاي- ريتز ،FGM كلمات كليدي: ورق بيضوي، مواد هدفمند

Free Vibration Analysis of Functionally Graded Elliptical Plates

Sh. Hosseini Hashemi1, S.R. Atashipour2, M. Karimi3, M. Es’haghi4

Professor, School of Mechanical Eng., Iran University of Science and Technology
PhD Candidate, School of Mechanical Eng., Iran Univ. of Science and Technology
MSc in Mechanical Eng., MAPNA Turbine Eng. and Manufacturing Co. (TUGA)
PhD student, Department of Mechanical Engineering, Concordia University

Abstract
This paper deals with a free vibration analysis of functionally graded elliptical plates with different classical boundary conditions on the basis of polynomial-Ritz method and classical plate theory. The proposed admissible function is capable to obtain accurate natural frequencies of various classical boundary conditions namely, clamped, free and simply supported edges. The mechanical properties of the FG plate are assumed to vary continuously through the thickness of the plate and obey a power law distribution of the volume fraction of the constituents. The convergency of applied polynomial-Ritz method is investigated. In order to verify the accuracy of the present solution, a comprehensive comparison study is performed
[email protected] نويسنده مسئول مقاله *
with the available results in the literature for homogeneous elliptical plate and FG circular plate. Also, the numerical results of the present solution for FG elliptical plate are compared with those of the finite element method (FEM). Finally, the effects of the plate geometry and inhomogeneity on the natural frequencies are investigated and some vibrational mode shapes related to symmetric-symmetric, symmetric-antisymmetric, antisymmetric- symmetric and antisymmetric- antisymmetric states are presented.
Keywords: Elliptical plate, Functionally Graded Materials, Natural Frequency, polynomial-Ritz
method

7E [`] ` qA 9 . %’; %O %O FGM o A
GU r & GU f! 6
[u] qA [t] !s” . A3 9′
1O ;2%& . o A 1 $ G%’
FGM fA “3 O+ v 0 9 M ,
$ > . A”A 9 N 6 9 ” A . E F [w] tfA F” o A L % A 9V& Y
3 9 V . A < V FGM 9″ 9! ON 6′ %# 7+ U 9E o A fA “3 ufA F” %’; %O FGM D V< N
(wDQM) Q G < N . $ G%’
.[^ _] A$ < 9′
S F 9 9N C O
L+ 9 =2C L 6′ H & 9′ !
$ L , L 9′ ‘ @A 3 #
9 , =2C FA , .6′ 9 , 9 V%O
%# E < , %”3
< 9% !U 3 D A .6’
+ GU L9 “, L 3 !%O 9>,
– f3o OF GU 9A x <
8 !U $j 9N S B $ %# E F
=2C [[[ [y] _O .”A $ ‘9%?3
( L + 93
9’ ‘ @A 3 # “A 4 $ ‘ E L @+ . 6’ $ ‘ B
! R V
3 L9 L A “A 3 6# 7+ U مقدمه -1
\3 , OA [FGM !”#
S ‘ 9!+] L !”?A (‘ 3 !9
V FGM H & .[b [] A$ 9# [^_` . !39 P R dV’ dV’ %’ + f! 9R%’ + A F? 3 E9 e= 6 U J& f! 8 $ g C ; \3 FGM 0 R 9F . 6& !F
6′ O >A ; 6
9 N h’ L != E$ > \, 3 i G% @!, FGM ; ” . 9 9 = H & L 0″ A 9 %& ‘ 0 # ‘
-9Ej , . % 9N 9F A F
! FGM # J ! kA 9’ !> ) %* 8 !U 3
-S ‘ A “A L != .9 $ 0# ‘9%?3
6& ‘ FGM $ G%’ &
D BV > l%O’ 9N S B
‘9%?3 8 !U $j ; ?# (bHVAC)
%# E < 9” B% $ A ‘ 63 ,
.6′
! V L % 7E
$ “= 3 A %&+ FGM
\’ ! 9N C 37 V 3 L >A \ * 6OF E , $ ‘ f! ? 9R%O& kA $ + %# E U 3 i3 . 9 9F ! R!’
9 “A . o A o A .6′ $ =
E $ ‘ $ EF ( FG 9 V%O
K ‘ .6’ %# 7+ U [p] p6 (‘ Vm +Vc =1 ([)

6″O< 9″MN O3 \ Vm Vc L 3 $ = < 8 K ‘ . !9 $ ‘ 0 # 9F ‘
$ 4 [[t] [b + ‘ 3 9A
%’ ‘ 9″MN O3 P % + 6’ E9 ) U 6 *Q

z1 g
36288366778

Vc = ( + ) , g ≥ 0 (b) h2

h $ 6 *Q %’ J%* z L 3 L E |& g !s” . 9 L 6 *Q
-9 & GU O %E 0 3 6′ 9R- kA FGM 9F A F H & 9″ .E
) P % + K ‘ %O %’; S 6 *Q 3 L ‘ + \ Q !s” . A E9
3 6’ 3} T ; . 9 %# E kA 6 X X L ‘ + 6BOA P – 3 $
T MA V \ Y O ~’ + P 0 – A
FGM 4 O %’ $
L != ) A %# E kA %+ 9% X
K ‘ .( ! B [€€ /{•] 8, A “A
A9 ) U FG %+

E(z) =(Ec −Em )Vc (z)+Em ρ(z) =(ρc −ρm )Vc (z)+ρm (•)
ν(z)=ν

0 # H & \ c m |& ; V
$ ‘ $ = < ; V . !”A9 $ ‘
3 9< H & L9 L $ G%’ 3 9
. 6′ 6′ 0 # 9F ‘ 0,
‘ @!, 9!R” $ RA g= 0 F R! H & L E |& f 0# 6 l &
L E |& 3 9% N . ! 9 f 0# 0 # %’ 9V& U H & 6′ N
. “A9 P 6 *Q

9Q = 9′ [[b] z9E q!’
& .”A $ E
L % ? 9 M , 3 “A I # !- L @+ . !
9′ ! 3
[yK S i L != .6# 7+ U Z @A 3 # 6OA 0% . E F [[p] & 3 9V “, . 6′
3 L 9 6′ $ T MA 9′ [[`] {{ % 9′ B’
0% . $ G%’ P% 6 X 6 *Q $ ‘
.”A $
– ! V – E
%”3 9 6# 8 ! R”
$ %& ‘ 9′
.6′ $ %&+ FG !”#
0% /”, !- . E$ > f j+
\’ ! 9!%# 7+ 8
[email protected] 3 # 6′ %# E < V FG
Z F 9 BC
. 9 R” 9 @+ .6′ $ 6′
O l> %+ X $ 4 N 6 U
; N Z F 6′ $ 9′
/L%+ L% + /L% L% /L%
.6′ $ 4 L% + /L% + L%

2- مواد هدفمند FGM
-9 9%N 6& ‘ !# FGM $ L 9 9E ‘ >A H & P $ A !
\’ ! 9N C L 9 . “A S %!3 F “= S JN H & P R %>
L !3 .”A 9# L 6& ‘ 6>, $ ‘ \’ !
H & P 8 $A L 9G %* S
S %”> 9F .6′ $ 4 FG
. 9 9A $ ‘ S L (‘ $ 9#
$ %& ‘ 0 # ‘ \ 3 FG $ sA !-
6 l& $ RA

@A 3 # L 6′ 3 6′ A E
> , 8 – E . 9 T ; 9’ ‘ 9 M%A S @A 3 # 9 < x < @A 3 # r *%’ 9 A
3 6′ A ! . 9″A ; 9
3 A 3 $ G%’ \’ ! 9!%# 7+ 8
9 < @A 3 # L E$ > L %
$ 2= 6′ FG ) %* 9
. $ G%’ < ) %* ( L
$ 3} 9Ej ” 3 \’ ! 9? 8
6′ U

391839169788

x 2 y 2 k N i N j i j W = 2 + 2 −1 ∑∑αij x y (u)
ab i = =0 j 0

0 A k !9 S >M \Q αij ; V
( Q 3 6′ 9% X \ Q
-9 ) U 9 %# E F ) %* E

B Z : k = 0
$ ‘ $ E F Z : k =1 (w)
E B Z : k = 2

9?B!, ] A 3 6′ T ; 0% N k!
9?A 3 OA %+ ] A . A B’ OA %+
-9 ) U o A
E

1 a b h/2
=

∫ ∫ ∫ (σε σε τγx x + y y + xy xy )dxdydz
2− − −a b h/2
(_)

!%O fA 3 G γxy εy εx ; V
( L F P L G 7R , 3
!9 6′ U 9V& L F P /fA 3
∂2w∂2w εx =−z

2 , εx =−z

2 ,
∂x∂y (^)
∂2w γxy =−2z

∂ ∂x y
ورق بيضوي 3- تحليل ريتز براي ارتعاشات
FGM
93 A FGM F x V
b – 3 D a v 0 D 3 R kA
. 9 h 6 *Q

شكل 1- نمايي از يك ورق بيضوي

9 M , L ’23 1 K ‘ 9 %# E kA U

∂w
u(x, y,z,t) =−z

∂x
∂w
v(x, y,z,t) =−z

∂y
w(x, y,z,t) = w(x, y,t) (‚)

9!%# 7+ 8 %# 0% N T <
9 %’ \, 3 A 9 \’ ! % kA . x < S N = $ ‘ N
“* 9? 8 9 8
F L9 9A GU 9 M ,
6# E kA

54254690022

149047490022

=x22y22α1 x22 +α2 y22 +α3 (t)
 + −1
abab

-9 S >M \Q ‘ α3 α2 α1 ; V L 6’ F 8 [[y] O . !
$ ‘ ( @A 3 #
6 *Q 6BOA O “A $ G%’ r *%’ 9B’ ! ƒ , ) %* L ‘ + \Q L F? 9 A F P 8 . “A OA %+ ] A !? 3 L ?A L 9 & !-

2 z E z2 ( ) ∂2W 2 ∂2W 
696646-11953

VMax =∫∫∫V 2(1−ν2)  ∂x 2  + ∂y 2  ([t)
∂2W ∂2W ∂2W 2
+2ν

22 +2(1−ν)

 dV 
∂x ∂y∂ ∂x y 

/ + S K ‘ FG ; V : 9 $ ‘ F
h3(g2 + +g 2)(E −E )
V

810946128513

+

1Em 

∂22 +∂22 ({• )
3 A  ∂x  ∂y 
∂2W W∂2 ∂2W 2
+2ν

22 +2(1−ν)

 dA
∂x ∂y∂ ∂x y  
jA E; 8 0% . E F k!
9 $ G%’ U

Π=VMax −TMax ([w)

%’ L 6′ T ; 0% N 9 %’ k!
] A >A 3 ! 6′ 9!%# 7+ 8 9! !”3 9F A F

δΠ=Π +(u δ δ δu v, + v w, + w )
([_)
−Π(u v w, ,) = 0

U 9? 8 3} 2B< 3 VA ” \ Q >! V .lE9 kA (u) V
“, !- B sA !- . 9 S >M αij
; V $ RA N i +N j 9? 8 6 l &

([^) /f! ( f! G V %#
U GU f! 6 N o fA 3
9 $ G%’
E(z)
σx =

2 (εx +νεy)
(1−ν )
365761132174

E(z) ([y ) σy =2 (εy +νεx)
(1−ν )
E(z)
τxy =

γxy
2(1+ν)

U 0 A o A 9?B!, ] A
9 )

179325-25328

h/2
Tρ(z)(w&)2 dxdydz ([[)
h/2

L 6BOA x%? ! w ; V A 6 2=
9?B!, ] A L9 ; V $ G%’ . 9
N . 6′ 9Q = 9 M , \ON
F 9Q = 9 M , 8 9 )

w(x, y,t) =W(x, y)sin(ωt) ([b )

@A 3 # ω $ 9? 8 W ; V
; V 7R , . 9 L ?A 9 BC
.3 B’ 9?B!, ] A L9 ([[) V
U 9?B!, ] A !? !
E9 B’

T

ρ( )z W dV2 ([p)
129540-236639

V

‘$ ‘ ; V (p) (b) ( 7R , FG 9?B!, ] A !?
:l ‘ 9 F /+ S K ‘

2  ρ ρc − m 2
TMax =

hω ρ m ++1 ∫∫AW dA ({‚ )
g
δα10 + +… δαN Ni j = 0 9E ‘ (_) V ([y) (^) ( 7R , ∂α10∂αN Ni
j

FG $ D A H & Q N f j+ U N
! /T ! !B= 3 6′ $ $ G%’
\ $ D A 6 >’ . FA /; #
9F A F H & .l 9 L ?A FGM2 FGM1 .6′ $ 4 { S , FG Z 9F A F H & P $ A L L ?A k! S P 6 *Q %’ FG
FGM2 FGM1 $ % O %’;
$ 4 b F l ‘ LE |& ) %*
.6′
9 3 = W %A 4 f j+
6’ $ $ L U @A 3 # E9 ) !- 3
570156112203

λ2 =ωb2 ρmh D (b[)

0 # 9 R- \ D ρm 37 V
T ; . !9 R” 9?”& (6 B U) 9%G’
V R” 9?”& 9%G’ 3 6′ 3} 9 )

295827137658

Emh3
D=2 (bb)
12(1−ν )

L 3 0M L ‘ + 6BOA !s”
ˆ/• ‘ 6′ $ |*? S ,
.6′ $ %# E kA
%O (N i +1)(N j +1) ; V
: 9 6’ αij \ … \ON

0,0,0,

(by )
∂αN Nij

ƒ , . !%O GU 9> ƒ , ; ; L ! L < GU 3 ; ; 9> Y
6′ J*? L” 9 6′ \Q ” O . 9 L 9 BC @A 3 # $ A E 3
(u) V “, !- 2”, f 0# %# f 0# $j O $ ! F? ;
9 BC @A 3 # 6 >A9 %? %M %A
[email protected] 3 # 6< F! “Q 6# l & 6′
… !% . 9 f 0# 0 A U N
, αij S >M \Q $j $j
$j G 7R , .
@A 3 # L … !% F (u) 37
. 9 6′ ($j ) 9 BC

4- بحث و بررسي نتايج عددي
. $ G%’ ’23 1 K ‘ h 3 3 B< 6″O< $ d ? 0%
6’ $ $ ‘ MATHEMATICA 0#T A 9 BC @A 3 # L 9 L $ G%’ 3
( FGM †
= W%A 9′ k! . 6′ ) %*

جدول 1- خواص مكانيكي مواد FG آلومينيوم- آلومينا و فولاد- نيكل
1408171-34474

Em (Gpa) ρm (kg m3) 1539202-29617

E Gpac () ρc (kg m3) $ D A
(Al)T ! (Al2O3) ! FGM1
wy €‰ˆˆ p_y p_yy (St); # (Ni)F A byy ‰Šˆˆ byt _^yy FGM2
-0.5200201202203204205-0.570140210280350
E (GPa)E (GPa)
(ƒ) () )

شكل 2- تغييرات مدول الاستيسيته در راستاي ضخامت،: (الف): ورق FGM1، (ب:) ورق FGM2

L 0% . 6 U $ !L ?A 9F جدول 2- بررسي همگرايي فركانسهاي طبيعي برحسب
‘6 3 #0 2″, f -! ,” 8 هرتز( Hz) براي يك ورق بيضوي FG
ω3 ω2 ω1 Ni ×N j D A
‰‰/Š••{ ••/€‹‚‹ •/z‰{‰‚ b×b SS
•{/‹{‹‹ €‹/{{‚‹ •/‹‰‰‰• p×p •{/ˆ‹‚{ {‰/ŠŠ•‰ •/‹•{‚ˆ `×` •{/ˆ‚z• {‰/{Š€€ •/‹•{•Š t×t •{/ˆ‚z{ {‰/{•‹‰ •/‹•{•Š u×u •{/ˆ‚z{ {‰/{•‹ˆ •/‹•{•Š w×w {•ˆ/‹‰‰ •‰/{Š‹‹ Š/€‰••• b×b AA
Š{/‚Š‹‚ €‰/ˆˆ‰• Š/€€zz‹ p×p ‹•/‰ˆˆ• €‹/Š•ˆ• Š/€€z•z `×` ‹{/•‹‰‚ €‹/Š{{• Š/€€z•Š t×t ‹ˆ/Š‚{• €‹/Š{ˆ‰ Š/€€z•Š u×u ‹ˆ/Š•zŠ €‹/Š{ˆ• Š/€€z•Š w×w [wb/p`w [[p/tt^ `u[^/by b×b SA
_p/`tu[ t_/t^yw [u/t`_[ p×p _y/p[wu `y/bwpt [u/bbw[ `×` wu/by[^ pw/`^[b [u/bby[ t×t uw/u`^y pw/pypb [u/bbyy u×u uw/tbp` pw/b^tp [u/bbyy w×w [y_/^uy ‚z/yb`y [[/w[_b b×b AS
`w/[twt `y/^`ub ^/b_tut p×p `b/`b`u b^/w`yt ^/[bpy^ `×` `b/pwpu bw/wttp ^/[b[u^ t×t `b/pw[b €‰/uu`_ ^/[b[u^ u×u `b/pw[[ bw/uubp ^/[b[u^ w×w 9> Y N U N = 9!%# 7+ L ” 3 A R” 9J*? = 6″‘ O k! . !%O 9 BC @A 3 # 37 9 R” b S ,
38150801345184

10495281345184

.6′ $ 9′ Z FGM2 D S 9 BC @A 3 # ‘ S , $ % y/yb 6 *Q p v 0 D [ – 3 N 6 N L E |& .6′ $ S , = .6′ $ %# E kA f 0# $ 4 N 9 R” 9&
3} . 9 L ?A ( N j Ni ) “, !- 2″, L f 0# BA 3 6′ 6 ” 04 N %FA
N j Ni h 3 A ,
.6 kA
$ ! L ?A \ AA SS AS SA J%& L % /L % + L % + /L % . ! 9 L % + /L % + L % /L % v 0 – 3 6BOA 37 L
. 9 9

p S , ? O 0 A ` S , .6’ $ T MA $ ‘ $ E † Z FG . W %A g2%& U ` p S ,
.6′ $ 4 B’ . ‘ Q N
6′ B’ < V g2%& U

[(OMs)−(PM)]
%Diff =

×100
(OMs)
((bb س اير روش ھاOMs:
روش حاض رPMs:

-L ?A \ %Diff 2 %Diff 1 S , 9 N 6BOA Q N . V& U $ !
` p S , A RA ” . 9 L ” N
6′ W %A 9 = O 9A *” 6′ |*?
V Z W %A Q N f j+ $
MA N 6 U [bp] L F” > G ,
. !39 $

N 6 U L ! “C S JN k!
W %A O OF ` p S , %# 7+
9 V Q N f j+ Z = [bp] [pL F” > G , .6′ $ T MA FG o A O 9 v 0 – 3 D k!
3} T ; .6′ $ I # % y/u R F
‘ , . !B [bp] 8, V 3 6′
.6′ $ T MA P% p S , $ T MA O
B % y/yb 6 *Q 3 6′ FGM2
) %* O . 9 E
W %A $ 2= .6’ $ T MA LE |&
-T A ‘S 3 L ” Z
.6’ $ 4 $ T MA 8, ” (‘ 0# F V< $ E $ !!3|*? n
. 9 C @A 3 # 9
جدول 3- مقايسه فركانسهاي ورق دايروي FG برحسب هرتز( Hz) با شرايط مرزي لبه گيردار
%Diff 2 %Diff 1 FEM [bp] [bp] 8, Present n g
y/up y/yy [p^/b^ {•Š/‚{ {•Š/‚{• y y
y/tt /y/yt b_^/_y €ŠŠ/ˆ‹ €ŠŠ/€{ˆ [
y/yb /y/[w `wp/`_ `wb/tt ‚‰•/•‰€ b
y/up y/y[ [pt/`w {•‚/•• [p`/u[[ y {
y/tu /y/y` b_[/_u b_y/[w €Šˆ/€z€ [
y/yp /y/[u `uy/`^ ‚‹z/•€ `uy/puw b
ˆ/‰‚ y/y[ [pp/u_ [pb/wy [pb/u^b. y •
y/uu /y/y` bw_/[` bwu/[^ bwu/b^w. [
y/[p /ˆ/{• `t`/`b `tp/y^ `tp/_yw. b
y/wu y/yb [pp/[[ [pb/[b [pb/y^w y t
y/u_ /y/y` bwu/^t bw`/^u bwt/yt_ [
y/[t /ˆ/{• `tb/`w `t[/yu ‚‹{/‰‰{ b
y/wu y/yb [pb/_p {•{/Š‹ {•{/Š€€ y w
y/u_ /y/y` bwu/pu bw`/p^ bw`/`_u [
y/[t /y/[u `t[/t[ `ty/[p ‚‹ˆ/Š•€ b
y/_[ ˆ/ˆ€ [pb/wt [p[/u^ [p[/uu^ y ^
y/w` /y/yp €‰•/€ˆ bw`/y^ bw`/[uu [
y/[p y/[u `ty/^y ‚‚z/•ˆ ‚‹ˆ/•ˆ• b
y/w` y/yb [pb/uy [p[/u` [p[/u[t y [y
y/uu /y/yp €‰‹/Šz bwp/^u bw`/ytt [
y/[` /y/[u `ty/w` “^/`b `ty/[bp b
جدول 4- مقايسه فركانسهاي ورق دايروي



قیمت: تومان

دسته بندی : مهندسی دریا و بندر

دیدگاهتان را بنویسید