جمدلسازی
مدل سازی عددی برخورد سیال لزج با صفحه الاستیک شناور در یک
حوضچه محدود

محمدرضا عصاری1 ، حسن بصیرت تبریزی2 ، محسن حسنقلی زاده3*1

استادیار، دانشگاه صنعتی جندی شاپور دزفول
استاد، دانشگاه صنعتی امیرکبیر 3- مربی، دانشگاه آزاد اسلامی واحد دزفول
چکیده
محاسبه تاثیر موج بر روی سازه عظیم شناور معمولاً بصورت تجربی یا عددی بدست می آیـد . محاسـبه عـددی معمـولاً بـه دوصورت انجام می پذیرد. برخی با استفاده از معادله لاپلاس، سیال پتانسیل را حل می کنند و برخی دیگـر از معادلـه ناویراسـتوکساستفاده کرده و سیال لزج را تحلیل می کنند. در این مقاله، برخورد سیال لزج با صفحه الاستیک شناور مورد بررسـی قـرار گرفتـهاست که معادلات ناویراستوکس بصورت کوپله و همزمان با معادلات ورق الاستیک شناور حل مـی شـوند . در مـدل سـازی عـددیتغییرات عمودی ورق الاستیک شناور از مدل تفاضل محدود و روش آپویند استفاده شده است. نتایج عددی بدست آمده بـا نتـایجعددی بصیرت تبریزی و کوچکی مطلق برای جریان پتانسیل و با نتایج عددی اوکوسـو و نامبـا و نتـایج تجربـی کاشـیواگی بـرایجریان لزج، مقایسه شده است. نتایج بدست آمده نشان می دهند که لزجت باعث افزایش شدید میرا شدن نوسـانات عمـودی ورق الاستیک نسبت به جریان غیر لزج می باشد. کلمات کلیدی: برخورد سیال با جسم جامد، صفحه الاستیک، مدل سازی عددی، سیال لزج، موج خطی

NUMERICAL MODELING OF VISCOUS FLUID
INTERACTION WITH FLOATING ELASTIC PLATE

M.R. Assari1, H. Basirat Tabrizi 2, M. Hassangholy Zadeh3
Assistant professor, Jondi Shapor University
Professor, Amirkabir University of Technology 3- Instructor, Islamic Azad University

Abstract
The estimation of wave loads on very large flouting structure is usually done by an empirical or a computational approach. The computational approach usually assumes two types. Some use the Laplace equation or potential flow and some take the Navier-Stokes equation or viscous flow analysis. In this study, the interaction between wave and elastic plate is investigated by using viscous flow assumption. It is coupled with the elastic plate equation. Numerical solution is carried out with finite difference method in form of upwind scheme. The displacement of elastic plate is simulated numerically. Numerical results are compared with the numerical results of Basirat Tabrizi and Kouchaki Motlaq for potential flow and with the numerical results of Ohkusu and Namba and experimental results of Kashiwagi for viscous flow. The results show that viscous flows have more damping effect on displacement of elastic plate than nonviscous flows.
Keywords: fluid-rigid body interaction, elastic plate, numerical modeling, viscous fluid, linear wave

[email protected] نویسنده مسوول مقاله *
1- مقدمه
در دهــه هــای اخیــر مطالعــات زیــادی پیرامــونهیدروالاستیک سازه های دریایی انجـام شـده اسـت. از مهمترین دستاوردها در این عرصه بر اساس تقدم زمانیبرای محا سبه تغییر مکان ورق الاسـتیک مـی تـوان بـهتئوری خطـی دو بعـدی توسـطBishop and price ، تئوری خطی سه بعدی توسـطWu and price اشـارهکرد [1، 2]. پس از آنها Xia et al.، تئوری غیر خطـیدو بعدی وChen ، تئوری غیر خطی سه بعدی را ارائـهکردند [3، 4].
تحقیقات و طراحی های زیادی روی سازه هـای شـناورخیلی بزرگ بر اساس هیدروالاستیسیته پیوندی انجـامشــده اســت. در ایــن رابطــه مــی تــوان بــهTakuji ، Hamamoto ،Kashiwagi و Hermans اشــاره کــرد[5، 6، 7 و 8].
حــصیری1 آنهــا را بــصورت یــک ورق نــازک در نظــر
با توجه به اینکه مدل سازی انجام شده برای سیال تراکم ناپذیر است لذا چگالی با زمان تغییر نکرده و معادله پیوستگی به شکل زیر می باشد: (1) 0=divV

معادله ناویراستوکس برای سیال تراکم ناپذیر بصورت زیر خواهد بود.
& Kim از این روش استفاده کرده اند [9، 10]. بـرایسازه عظیم شناور مگا – فلوت2در ژاپن، Seto & Ochi نیز چنـین کـاری را انجـام داده انـد [11]. در راسـتای بهبـود پـیش بینـی رفتـار سـازه هـای عظـیم شـناور، تحقیقات و مطالعات Takagi & ،Takagi & KoharaNagayasu و Takagi باعــــث ارتقــــاء روش ری3 در رسیدن به جواب شده است [12، 13، 14].

برای محاسبه فشار درون سیال از معادله پواسون4، کـهبا دایورژانس 5 از معادله ممنتوم بدست می آید، استفادهشد.

∇2P =−2ρ∂∂ux ∂∂yv −∂∂uy ∂∂vx (3)
بسط م قادیر ویژه، تکنیـکWiener-Hopf ، معـادلاتدیفرانــ سیلی – انتگرالــــی، روش Green-Naghdi و روشهای مختلف دیگری با فرض شـیب کـم سـطح آزادسیال و همچنـین سـطح صـفحهُ الاسـتیک، جریـان راخطی در نظر گرفته و سازه عظیم شناور را مورد بررسیق رار داده ان د [6و 8و 15و 16و 17و 18]. در برخ ورد موجه ای ب ا فرک انس ب الا ب ا ورق الاس تیک ش ناور،
930011912928

می گیرند. Ohkusu & Namba و همچنین Ertakin 2- معادلات اساسی حاکم
در بررسی مسائل هیدروالاستیک روشهایی چـون روش
B-spiline Galerkin، روش المــان مــرزی، تکنیــک(2) V

روشــهای دیگــری بــرای بررســی تغییــرات دینــامیکی معادله حاکم بر سطح آزاد، رابطه بین سرعت و تغییر سازه های عظیم شناور همچـون روشـهایHermans و مکان عمودی موج سیال را مشخص کرده و به فرم زیر
Ohkusu & Numba وجود دارد [19، 20]. می باشد:
تابستان 89
معمولاً برای بررسی سازه هـای عظـیم شـناور از مـدل
مهندسی
در تحقیقـات اخیـر بدسـت آمـده،Belibassakis & Athanassoulis توانستند معادلات برخورد غیرخطـیموج با سازه عظیم شناور را بر اساس تغییرات عمق آبو بصورت کوپله حل نمایند [21]. همچنین با اسـتفادهاز روش Kashiwagi and ،B-spiline GalerkinOhkusu توانستند رفتار هیدرواستاتیکی سـازه عظـیمشناور را بدست آورنـد [22].Dias and Dyachenko and Zakharov توانـستند بـر اسـاس تئـوری ضـعیف میرا کننده جریان، جریان پتانسیل را حل نمایند [23].
Meylan & Sturova نیــز بــا اســتفاده از دو روش
مقادیر ویژه و تبدیل فوریـه برخـورد سـیال بـا صـفحهالاستیک شناور را در دو بعد مدل سـازی کردنـد [24]. در این تحقیق با توجه به اینکه در مورد اثر ویـسکوزیته در برخورد با صفحه الاستیک شناور کمتر مـورد توجـهمحققین بوده، این پارامتر مد نظر می باشد.
∂η ∂η
v = − ∂t +u ∂x (4)

رابطه بالا یک معادله غیر خطی است. به منظور ساده سازی و خطی کردن معادله بالا از تاثیرات ناچیز
ترمu∂∂ηx صرفه نظر کرده و معادله سطح آزاد به این فرم در می آید.
∂η
v =− ∂t (5)

پس از بررسی معادلات حاکم بر سیال به بررسی معادلات حاکم بر صفحه الاستیک شناور پرداخته شده است. با توجه به اینکهE ، مدول الاستیسیته ورق الاستیک، h ، ضخامت ورق و ϑ، ضریب پواسون می باشند، D ، ضریب سختی ورق به صورت زیر تعریف می شود:
592836320539

D =12(1Eh−3ϑ2) (6)

و با در نظر گرفتن ms =ρh بعنوان جرم واحد
سطح، معادله دیفرانسیلی خیز ورق در حالت دینامیکی به شکل زیر در می آید:
D∇4W + ms ∂∂2tW2 = P(x, y,t) (7)

3 – مدل سازی عددی
ابتدا به مدل سازی عددی معادلات حاکم بر جریان
سیال می پردازیم. برای این کار از مدل بکار رفته
25173126864

uiT, j+1∆−t uiT, j + convection ≈ source
684325-24123

796334414782

+ (1− f )ϑ uiTu++i1T,1,j+j+1−1 2−∆u2iTxu,2j+iT,1j++1 u+iTu−+i1T,1,j+j−11  (8)
+∆y2
390178186110

 uiT+1, j − 2uiT, j + uiT−1, j

502202201653

+ fϑ+ uiT, j +1 −∆2x∆u2yiT,2j + uiT, j −1 

f در رابطه بالا عاملی برای کنترل حل زمانی معادله می باشد. برای محاسبه دو ترم جابجایی و چشمه از روابط زیر استفاده می شود:
برای محاسبه ترم جابجایی دو حالت وجود دارد. اگر مولفه سرعت جریان در راستای x ، مثبت باشد آنگاه:
720105-387858

138699-69752


u

401606207371

(1− f)uiT,j+1(uiT++11,j +uiT,+j 1)4−∆uxiT−+11,j(uiT,j+1+uiT−+11,j)
if uiT,j >0

اگر مولفه سرعت جریان در راستای x ، منفی باشد آنگاه:


177567131650

282724-191401u∂u

Tiji ji ji jij
توسط وایت6 که بر اساس روش تفاضل محدود 1+T

4∆x
if uiT,j <0

برای محاسبه ترم چشمه که مربوط به فشار است از رابطه زیر استفاده میکنیم: می باشد استفاده گردید [25].
جریان مورد نظر لایه ای در نظر گرفته شده است لذا برای مدل سازی عددی سرعت در راستای x با استفاده از رابطه (2)، رابطه زیر بدست می آید:

+ (f −1)
ج

پس از مدل سازی عددی معادلات حـاکم بـر سـیال بـهبررســی ورق الاســتیک شــناور پرداختــه شــده اســت .
مدل سازی عددی معادله دینامیکی خیز ورق با استفادهاز روش تفاضل محدود به صورت زیر انجام گردید.

(14)
D (1− f)[6W −4W −4W +W +W]T+1 (11)
T+1+
∂∂px =(1− f) pi+1,j2∆−xpiT−11,j + f piT+1,j2∆−xpiT−1,j

مدل سازی عددی سرعت در راستای y همانند مدل سازی عددی سرعت در راستای x است. تنها
تفاوت آن در این است که در ترم چشمه یک جزء + f[6Wi −i4Wi−1i−−14Wi+1i++1Wi−2i−+2Wi+2i+2 4
( g − ) اضافه میگردد که بخاطر نیروی جاذبه است. h]T
96035124599

برای محاسبه فشار با استفاده از معادله پواسون4، ms (WiT+1−2WiT +WiT−1)= piT,N +
مدل سازی عددی آن به شکل زیر است که:

(12)
103730188393

pi+1, j − 2 pi, j + pi−1, j
∆x2
223372176368

+ pi, j +1 − 2 pi, j + pi, j −1 =
∆y2
491594178138

ui+1, j −ui−1, j vi, j +1 −vi, j −1 
1546996258839

− 2ρ vi+12,∆j x− vi−1, j ui, j2+∆1y−ui, j −1 
+2∆x2∆y

فرض بر آن است که ورق الاستیک شناور در یک حوضچه محدود مورد بررسی قرار میجگیرد. لذا سرعت در کف و انتهای حوضچه برابر صفر می باشد. از آنجا که موج ورودی به حوضچه را در حالت آزمایشگاهی، یک مولد موج تولید می کند، اندازه سرعت ورودی سیال به درون حوضچه در هر لحظه از زمان و در هر موقعیتی از مکان، مشخص خواهد بود. در شکل 1، نمای حوضچه نشان داده شده است.
با توجه به اینکه سرعت سیال در زیر ورق برابر صفر می باشد و در طول روند حل، ورق و سیال به هم متصل می باشند. لذا برای مدل سازی عددی معادله سطح آزاد سیال، از تغییرات سرعت در نقاط زیر محل تماس سیال با ورق الاستیک استفاده شده است. از این رو معادله (5) به شکل زیر در می آید:

ηiT +1=ηiT + viT, j+−11∆t (13)

∆t2
در رابطه (14)،W ، نمایانگر جابجایی عمودی ورق الاستیک می باشد و اندیس N ، موقعیت نقاط ورق الاستیک را نسبت به کف حوضچه مشخص می کند.
حال شرایط مرزی در دو سوی ورق الاستیک، که هر دو
لبه آزاد در نظر گرفته شدهجاند، مورد بررسی قرار می گیرد. برای لبه آزاد ورق، معادلات زیر حاکم می باشند.

1120138-111506

∂2W2 +ϑ∂2W2 =0 (15)
 ∂x∂y x=a
(16)

(
)
0
2
2
3
3
=




+


=
a
x
y
x
W
x
W
ϑ

(

)

0

2

2

3

3

=



قیمت: تومان

دسته بندی : مهندسی دریا و بندر

دیدگاهتان را بنویسید