نشریه تخصصی مهندسی صنایع، دوره 50، شماره 2، پاییز و زمستان 1395، از صفحه 235 تا 246
ارائة مدل کنترل موجودی اقلام فاسدشدنی با انجام دادن نمونه گیری به منظور پذیرش تحت خطای بازرسی

جواد حسن پور رودبارکی1*‌، ابراهیم شریفی2 ‌
مربی رشتة مهندسی صنایع، دانشکدة مهندسی صنایع، دانشگاه مهندسی فناوری نوین قوچان
کارشناس رشتة مهندسی صنایع، دانشکدة مهندسی صنایع، دانشگاه مهندسی فناوری نوین قوچان

)تاریخ دریافت 22/07/94 ـ تاریخ دریافت روایت اصلاح شده 25/02/95 ـ تاریخ تصویب 02/03/95( چکیده
امروزه مدیریت و کنترل موجودی های فسادپذیر در بسیاری از واحدها و بنگاه های صنعتی اهمیت و جایگاه ویژه ای دارد. از اسـاس، مـدیریت وکنترل موجودی های فسادپذیر پیچیده تر و چالش برانگیزتر از موجودی های دارای طول عمـر نامحـدود اسـت. از ایـن رو ،تعیـین سیاسـت هـایموجودی بهینه برای این نوع کااها اهمیت زیادی دارد. در این پژوهش، سیاست بهینة موجودی اقلام فاسدشدنی با درنظرگرفتن تست مخرب به منظور پذیرش اقلام بس داده شده است. پ از مدل سازی مسئله و به دست آوردن تابع هـدک ، ابتـدا روش حـش دقیـق و الگـوریتم سـاده و کارآمدی به منظور یافتن ملادیر بهینه ارائه می شود. سس با کمـک یـک مثـال عـددی اعتبارسـنجی و آنـالیز حساسـیت درمـورد آن صـورتمی پذیرد.

واژه‌های‌کلیدی: بازرسی، تست مخرب، کاای فساد پذیر، ملدار سفارش اقتصادی، نمونه گیری به منظور پذیرش.

مقدمه
در مدل سازی ریاضی، مسائش کنترل موجودی که با مسـئلة کلاسیک میزان سفارش اقتصادی1 هری [1] شـروع شـد ، این فرض درنظر گرفته می شد که محصوات عمر نامتناهی دارند. ویتین [2] برای اولین بـار درنظرگـرفتن فسـادپذیری کاا را به صـورت از مـدافتادگی کـاا پـ از مـدت زمـان مشخص مطرح کرد. گاری و شریدر [3] بـرای نخسـتین بـارموج ودی فاسدش دنی2 را ب ه ص ورت ت ابع نم ایی منف ی مدلبندی کردند. بعد از آن الیون و ماایا [4] مدل یادشـدهرا گسترش دادند و تلاضای وابسـته بـه قیمـت محصـول رامطرح کردند. تا پنجاه سـال بعـد پـژوهش هـای زیـادی بـادرنظرگرفتن فرضیات مختلف نـه تنهـا در عمـر محصـوات،بلک ه عوام ش دیگ ری مث ش ن وع تلاض ا، وج ود تخفی ف،
مجازبودن کمبود و عوامش دیگر به وجود آمدند .حـدود یـک دهة قبش گویال و گیری [5] مدل های کنترل موجودی را بر مبنای فسادپذیری دسته بندی کردند. آن ها با بررسـی 130 منبع، مدل های کنترل موجودی را براساس وجود یا نبود از * نویسندة مسئول: تلفن: 05138843789 نمابر: 05138842521مدافتادگی و فسادپذیری تلسیم بنـد ی کردنـد. محصـواتهنگامی از مد می افتند که با گذر زمان به دایـش مختلـف)مانند تغییر در فناوری معرفی محصول جدید از سوی رقبا و…( ارزش خود را از دست دهند. فساد نیز شـامش خرابـی وخسارت به محصوات می شـود . نـامی [6] مـدل هـا یی را بررسی کرد که در آن موجودی به صورت ثابت فاسد می شد. بعد از او رأفت [7] درمورد مدل هایی تحلیق کرد که در آن موجودی به صورت پیوسته فاسد مـ ی شـد . پـال و همکـاران[8]، اکرمن و همکاران [9] و کاریزمن و همکـاران [10] بـرمشکش فاسدشدن در تولید و توزیع به ویژه در زنجیرة تأمین مواد غذیی تمرکـز کردنـد. لـی و همکـاران [11] نیـز صـدپ ژوهش اخی ر را درم ورد م دیریت کااه ای فاسدش دنی بررسی کردند که 25 مورد آن ها از ملـاات منتشرشـده درژورنال مدیریت چین انتخاب شده بـود. از جملـه تحلیلـات جامع در زمینة فسادپذیری محصوات می توان به پـژوهش باکر و همکاران [12] اشاره کرد. از دیگر پژوهش ها درمورد Email: [email protected]
درنظرگرفتن فرضیة فسـادپذیری محصـوات مـی تـوان بـهپ ژوهش ه ای ج وای و همک اران [13] در س ال 1384 و میرزازاده و همکاران [14 ] اشاره کرد .افراد بسیاری کنتـرلکیفیت در مدل سفارش اقتصـاد ی را هنگـام یکـه محمولـة دریافتی شامش محصوات سالم و معیوب می شـود ، بررسـ ی کرده اند، اما در بیشتر آن ها بازرسی بـه صـورت صددرصـدیاست. سلامه و جابر [15] در سال 2002 برای اولـین بـار در پژوهش خود کاای معیوب را در مـدل سـفارش اقتصـادیدرنظر گرفتند که هدک آن ها بیشینهکردن سود بود. گویال و کاردنزب ارون [16] روش س اده ای را ب رای تعی ین مل دار بهینة سفارش اقتصادی درصورت معیـوب بـودن کـاا ارائـهکردند. پاپاکریسـتوس و کانتنسـتورس [17] ملـدار کـاایمعیوب در محموله را احتمالی درنظر گرفتند و نشان دادنـد بیشینه کردن سود در این مدل با کمینه کردن هزینه فرقـیندارد و هر دو جواب یکسانی مـ ی دهـد . سـو [18] در مـدلسفارش اقتصادی، کاای معیوب و هزینة معیوببودن آن را درنظر گرفت که در آن کیفیت کاا تـابعی از توزیـع نمـایینرمال بود. سو و یـو [19] مـدلی را ارائـه دادنـد کـه در آنمحصوات فل شامش یک تخفیف مـ ی شـدند و محصـواتمعیوب با یک بازرسی صددرصدی از رده خارا م ی شـدند و بلیة محموله به فروش می رسید. مـداح و جـابر [20] تـأث یر سرعت بازرسی و تنوع در فرایند تأمین بر ملدار سـفارش رادرصورت وجودداشتن محصول معیوب در سـفارش بررسـیکردند. جابر و همکاران [21] مفهوم هزینة آنتروپی را بـرایتوسعة مدل کلاسیک سفارش اقتصـادی بـا فـرض سـالم ومعیوب بودن کاا به کار بردند. وانگ و همکـاران [22] مـدلسفارش اقتصادی را هنگامی که کاا معیوب است و بـا ایـنف رض ک ه می زان خراب ی محص وات متغی ر تص ادفی و
هزینه های نگهداری سفارش دهی و بازرسی متغیرهای فازی هستند بررسی کردند. بعضی از پژوهش ها کاای معیـوب رانوعی کمبود درنظر گرفتند که بایـد در سـفارش هـای آتـیبرطرک شـود. رضـایی [23] و وی و همکـاران [24] فـرضکردند کااهای معیوب می توانند به صورت پ افـت درنظـرگرفته شوند و بعد تـابع درآمـد کـش را در هـر دورة زمـانیمحاسبه کردند. ایروغلو و اوزمیر [25] نوعی مـدل سـفارشاقتصادی را مـدل بنـد ی کردنـد کـه در آن محمولـه شـامشکاای معیوب و کمبـود از نـوع پـ افـت اسـت. بازرسـیصدرصدی برای شناسـایی محصـوات معیـوب از فرضـیاتآن ها بود .آن هـا تـأث یر درصـد خرابـی را بـر راه حـش بهینـهبررسی کردند. درنهایـت، خـان و همکـاران [26] حـالتی رابررسی کردند که در آن فرایند بازرسی دچار اشتباه می شود و کاای سالم را معیوب درنظر می گیرد. تمام مدل های بـاابازرسی را صددرصدی درنظر گرفتند، اما السـلامه [27] در پژوهش خود بیان می کند در دنیای واقعی معمواً خریداران منابع ازم را برای اجرای بازرسی صددرصدی ندارنـد یـا بـاتوجه به ماهیت و نوع بعضـی از محصـوات بـرای تضـمینکیفیت و سالم بودن محصـول بایـد روی آن تسـت مخربـیانجام گیرد. به همین دلیش، خریـداران بایـد بـا اسـتفاده ازنمون هگی ری3 از ک ش محمول ه درم ورد رد ی ا پ ذیرش آن تصمیم بگیرند .
تاکنون برای تعیین ملـدار بهینـة سـفارش، مفروضـاتفاسدپذیربودن محصول و وجود محصوات معیـوب و سـالمدر محموله هنگامی که تسـت مخـرب بـرای پـذیرش یـا ردمحموله در دستور کـار قـرار مـ ی گیـ رد، بـه طـور هـم زمـانپژوهشی صورت نگرفته است. در این پژوهش، مدل سفارش اقتصادی اقلام فاسدشدنی بس داده می شـود کـه بازرسـیصددرصد در آن درنظر گرفته نمی شـود ، بلکـه خریـ دار بـر نمونه ای از محمولة دریافتی تستی مخرب بهمنظور پـذ یرش یا رد محموله انجام می دهد. درصورت رد محمولـه از سـویخری دار، او ای ن محمول ه را ب ا قیمت ی کمت ر ب ه ف روشمی رساند و سفارش دیگری انجام می دهد. درادامـه، مسـئله تعریف می شود. سس معرفی پارامترها و متغیرهای تصمیم و همچنین فرضیات مسئله صورت می گیرد. پ از معرفـی همة هزینه های مسئله، مدل سـاز ی و بـه دسـت آوردن تـابع هدک مدل که برابر با مجموع هزینه های کنتـرل موجـودی است، انجام می پذیرد. همچنین، بعد از اثبـات تحـدب تـابع هدک مدل، روش حـش دقیـق و الگـوریتم کارآمـدی بـرای به دست آوردن ملادیر بهینه، متغیرهای تصمیم مسئله ارائـه می شود. به علاوه، مثـال عـددی و تحلیـش حساسـیت بـرای مسئله ارائه می شود و درنهایت جمع بنـد ی و نتیجـه گیـ ری صورت می گیرد.
تعریف مسئله
در این قسمت، مدل کنتـرل موجـودی سـفارش اقتصـادیساده برای حالتی توسعه داده مـ یشـود کـه محصـوات بـا گذشت زمان با نرخی ثابت فاسد می شوند. همچنـین، آثـارزوال پذیربودن و کیفیت محمولة دریافتی بـر ملـدار بهینـ ة سفارش و اندازة نمونه بررسـی مـ ی شـو د. تـابع هـدک ایـنمسئله از کش هزینه منهای کش درآمد تشکیش شده اسـت ودر اینجا هدک کمینه کردن آن است .هزینه ها شامش هزینـةسفارش دهی، هزینة فساد، هزینـة نگهـداری، هزینـة تسـتمخرب و درآمد نیز شامش سـود حاصـش از فـروش محمولـ ة ردشده از سوی خریدار در بازار ثانویه است. سایر مفروضات مسئله به صورت زیر است:
ملدار تلاضا ثابت و مشخص است.
محموله تک محصولی است.
تحولی کاا به صورت آنی و افق برنامه ریزی نامحدود است.
کمبود مجاز نیست.
درصورت رد محمولـه از سـوی خریـدار او سـفارشدیگری انجام می دهد.
کاای موجود در انبار در طول زمـان بـا نـرخ ثابـتفاسد می شود و نرخ فساد برابـر بـا کسـری ثابـت ازموجودی در دست در هر لحظه است.
برای فرایند بازرسی نیز فرضیات زیر درنظر گرفته شـدهاست:
زمان بازرسی4 قابش چشم پوشی است.
در فرایند بازرسی احتمال وقوع خطا وجود دارد.
نمونة ازبـین رفتـه توسـ تسـت مخـرب، جـایگزیننمی شود.
تعداد محصوات معیـوب از تـابع توزیـع دوجملـه ای پیروی می کند.
مدل سازی نمادها و متغیرهای تصمیم
نمادهای استفاده شده در مدل سازی مسـئله بـه شـرح زیـرهستند:
????: هزینة هربار سفارش کاا ℎ: هزینة نگهداری هر واحد کاا ????: تلاضای کاا در واحد زمان ????: هزینة خرید هر واحد کاا
(????(????: سطح موجودی انبار در زمان ????
????: طول هر دورة سفارش دهی )متغیر تصمیم(
????: میــزان ســفارش در هربــار ســفارش دهــی )متغیــر تصمیم(
????: ض ریب فس اد موج ودی در دس ت در واح د زم ان
)0 < ???? < 1(
????????: هزینة فساد هر واحد کاا
????: اندازة نمونه برای انجامدادن بازرسی و تست مخرب
(????(???? : هزینة بازرسی و تست مخرب وابسته به ????
????: قیمت هر واحد کاای ردشده بـرای فـروش در بـازارثانویه
????: عدد پذیرش
1????: سطح خدمت )حداقش احتمال قابش قبول که بازرسی و تســت مخــرب مــی توانــد از آثــار اشــتباه در بازرســیچشم پوشی کند(
????: احتمال خرابی کاا
????: احتمال سالم درنظرگرفتن یک کاای معیوب با تابع توزیع (????(???? و تابع توزیع تجمعی (????(????
???????? : احتمال قبولی سفارش
????: تعداد کاای معیوب در نمونهای به اندازة ????
????????????: مجموع هزینة سفارش دهی در واحد زمان
(????????????(????: مجموع هزینة تست مخرب در واحد زمان
????????ℎ: مجموع هزینة نگهداری در واحد زمان
????????????: مجموع هزینة فساد در واحد زمان
???????? ????: مجموع هزینة خرید در واحد زمان
????????????: مجموع درآمد حاصش از فروش کاا در بازار ثانویه در واحد زمان
????????: مجموع هزینه های کنتـرل موجـود ی هـا در واحـدزمان
تشریح و بیان مسئله
در اینجا هدک ارائة مدل سفارش اقتصادی درصورتی اسـت که محموله از سویی فاسدشدنی است و با نـرخ مشـخص وثابت ???? فاسد مـ ی شـود و از سـوی دیگـر حـاوی کااهـایمعیوب و سالم است که خریدار ابتدا با انجـام دادن بازرسـیتصمیم به پـذیرش یـا رد آن مـ ی گیـ رد، بـه صـورتی کـه بـرنمونه ای به انـدازة???? از محمولـة سـفارش داده شـده تسـت مخربی5 انجام می دهد. همچنین، باید توجه شود در بازرسی این نمونه نیز امکـان اشـتباه و سـالم درنظرگـرفتن کـاایمعیوب وجود دارد. خریداری را درنظر بگیرید که محموله ای به اندازة ???? را از فروشنده ای با هزینة ثابت سفارش دهی ???? و هزینـة خریـد???? هنگـامی کـه بـا تلاضـای ثابـت???? روبـه رو می شود، خریداری می کند. هزینة نگهداری هر واحد کـااℎ واحد پولی و محموله با نرخ ثابت ???? فاسد می شود. خریـدارپ از دریافت محموله، تست مخربی را بـر نمونـه ای از آن برای پذیرش یا رد کش محموله انجـام مـ ی دهـد . نمونـه بـهاندازة ???? از محموله برداشته و تست می شود )احتمال اینکـهکاایی خراب باشد ???? است(. خریدار وقتی محموله را قبـولمی کند که تعداد کااهای معیوب در نمونـه کوچـک تـر یـامساوی با عدد پذیرش c باشد. اگر پ از انجام دادن تسـتمشخص شود که محموله باید رد شـود، خریـدار مـ ی توانـد باقی محموله را با قیمت ???? بفروشد و سفارش دیگری انجـامدهد.
مدل سازی
با توجه به اینکه (????(???? نشان دهندة سطح موجودی در دست در زمان ???? است، تغییرات موجـودی تحـت تـأث یر دو عامـشاساسی تلاضا و فسـاد اسـت. در بـازة زمـانی [???? ,0] کـاهشموجودی ناشی از دو عامش تلاضا و فساد است. ایـن مسـئلهدر نمــودار کنتــرل موجــودی شــکش 1 نیــز بــه وضــوح قابشمشاهده است.

شکل 1. نمودار کنترل موجودی برای کالای فسادپذیر

برای محاسبة هزینه های کنتـرل موجـودی، ابتـدا تـابعموجودی در دست بر حسب زمان محاسبه می شود:
dI t )1( dt θI t D ,0 t T

اثب ات م ی ش ود ک ه ح ش معادل ة دیفرانس یش خط ی
:به صورت زیر است ????′ = −????(????)???? + ????(????)
y ep x dx  q x .ep x dx  dx  ک ه در آن ???? ت ابعی از ???? اس ت و ′???? براب ر اس ت ب ا

و همچنین (p(x و (q(x نیز توابعی دلخواه از ???? هستند. بـاتوجه به رواب ذکرشده برای به دست آوردن (????(???? داریم:
)2(
I t  eθdx D e. θdxdx  0 t T و درنهای ت معادل ة می زان موج ودی در دس ت در زم ان t به صورت زیر است:
Dθ T t 
I t  

θ e1 )3(
0 t T با قراردادن ملدار 0 =???? در معادلة 3 ملـدار موجـودیدر دست در زمان صفر به دست می آید:
I 0

Dθ eθT 1 )4(
همان طورکه در شکش واضح اسـت، موجـودی در زمـانصفر برابر است با:
I 0 Qn )5(
با توجه به معادلة 4 و 5 میزان سـفارش از معادلـة زیـرمحاسبه می شود:
DθT
Q 

e  1 n )6(
θ
با توجه به کوچک بودن ملدار θ می توان از بسـ تیلـور به صورت

استفاده کرد؛ بنابراین ،
داریم:
)7(
1036155-133658

Q 

Dθ 1θT  θT 2  1 n

 D T 1θT 2 n
2
درادامه ،هزینه ها محاسبه می شود.
هزینة خرید کالا
با توجه به میزان سفارش در دورة ???? محاسبه شده در رابطة 7 ملدار کش هزینة خرید در واحد زمان به صـورت رابطـة 8 محاسبه می شود:
56004486835

TC p  QCT  cDT θ1eθT 1T

n )8(
561184123421

TC 1
p CDT θ 1θT 21θT 2 1
n 

T
CDθT

 1 T

n
2 هزینة ثابت سفارش دهی
با توجه به اینکه در هر دوره فلـ یـک بـار سـفارش انجـام می گیرد و هزینة ثابتی دارد ،???? مجموع هزینة سفارش دهـی در واحد زمان از رابطة 9 محاسبه می شود:
A
TCo T

)9(
هزینة نگهداری
برای محاسبة هزینـة نگهـداری ابتـدا بایـد میـزان متوسـ موجودی در سیکش محاسبه شود. میزان متوس موجـودی به این ترتیب محاسبه می شود:
)10(
156610-3603

I  T Dθ eθ T t  1dt  θ

D2 eθT θT 1
0
با توجه به ملدار متوس موجودی حسـاب شـده هزینـةنگهداری کش به صورت زیر محاسبه می شود:
555421-98162

TCh  hIT ThDθ2 eθT  θT 1 )11(
با توجه به کوچک بودن ملدار ???? می توان از بسـ تیلـور به صورت

استفاده کرد؛ بنابراین،
داریم:
)12(
1383430-125277

55307985861

h ThD 2 2 θT  1  TC  1θT θ T
θ2 

hDT

2
هزینة فساد کالا
برای محاسبة هزینـة فسـاد در هـر دوره ابتـدا بایـد میـزان محصول فاسدشده در هر دوره به طور متوس محاسبه شود.
ازآنجا کـه در هـر لحظـة مشـخص زمـانی ماننـد???? میـزانمشخصی از موجودی در دست فاسد می شود، در هر لحظـه از دوره، میزان فساد برابر با (????????(???? اسـت و ملـدار کـاای فاسدشده در کش دوره به شکش رابطة 13 محاسبه می شود:
)13(
T deteriorated goods per cycle θI t dt 
0
T D θ T t  TCd 0θ

θ e 1dt  T
D eθ T t  1dt
0
D θ1 eθ T t  t T0  D   θ1 T θ1 eθT 
D θTD

e DT 

θθ
D 2 2
526559-1960701
2

1

2

TCd  θ 1θT  θ T θT 1cd 
T
Dθc Td

2هزینة تست مخرب
با توجه به اینکه در هر دوره فل یک بار تست مخرب انجام می گیرد و هزینة ثابتی دارد (????(???? مجموع هزینـة سـفارش تست مخرب در واحد زمان از رابطة زیر محاسبه می شود:
g n 
TC g n  

T )14(
محاسبة درآمد حاصل از فروش محمولة ردشده با توجه به اینکه خریدار در ابتدای دوره ???? ملـدار سـفارشمی دهد و برای بازرسی آن بر ???? نمونـه از آن تسـت مخـربانجام می دهد، پ موجودی ابتدای دورة آن ???? − ???? اسـت.حال اگر محموله پ از انجام دادن تست رد شـود، خریـدار
آن را با قیمت به فروش می رساند کـه درآمـد حاصـش ازرابطة 15 محاسبه می شود:
547232140778

KK Q nK D eθT 1
TR θ  TT 

TK Dθ 1θT 21θ T2 2 1 )15( KD 121θT 
محاسبة تابع هزینه و درآمد کل
احتمال اینکه محموله پذیرفته شود برابر اسـت بـا احتمـالاینکه تعداد )عدد پـذیرش( یـا کمتـر کـاای معیـوب درنمونة تایی وجود داشته باشد:
)16(
pa  p x cxc   xnp x 1 pn x
0 
هنگامی کـه تعـداد کااهـا ی معیـوب در نمونـه



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید