نشريه تخصصي مهندسي صنايع، دوره 50، شماره 1، بهار و تابستان 1395، از صفحه 1 تا 12
تصميمهاي متوالي و پويا درمورد قيمت فروش و پذيرش يا رد مشتري با استفاده از فرايند تصميم ماركوف
مهدي احمدي1، حسن شوندي2 *
دانشجوي دكتري دانشكدة مهندسي صنايع، دانشگاه صنعتي شريف
دانشيار دانشكدة مهندسي صنايع، دانشگاه صنعتي شريف

(تاريخ دريافت 11/08/93 ـ تاريخ دريافت روايت اصلاحشده 12/04/94 ـ تاريخ تصويب 07/10/94) چكيده
در اين پژوهش، نحوة تصميمگيري درمورد قيمت فروش و تخصيص كالا براي فروشندة داراي چندين كلاس مشتري بررسي مي شود. در هنگام مراجعة هر مشتري، فروشنده بايد با توجه به ميزان كالاي موجود، در زمينة برآورده كردن تقاضا يا رد آن تصميم بگيرد. درصورت برآوردهكـردنتقاضا، بررسي مي شود كه آيا قيمت فروش بايد تغيير يابد يا خير و درصورت نياز به تغيير، قيمت جديـد چگونـه از بـين مجموعـه قيمـت هـا ي ممكن تعيين مي شود. همچنين، بعد از هر تغييري در ميزان موجودي، در زمينة ادامه يا توقف توليد تصميم گيري مي شود. مسئلة تصميم گيري فروشنده مسئلة تصميمگيري متوالي است كه در اين پژوهش با رويكرد فرايند تصـميم گ يـري مـاركوف مـدل مـي شـود. بـا اسـتفاده از فراينـدتصميم گيري ماركوف، ساختار سياست بهينة تصميم گيري براي هر سه تصميم مطرح شده تعيين مي شود. درنهايت، تأثير استفاده از ايـن نحـوةتصميمگيري بر سود فروشنده از طريق مطالعهاي عددي نشان داده ميشود.

واژه هاي كليدي: تخصيص كالا به مشتري، تصميمهاي متوالي، چندين كلاس مشتري، فرايند تصميم ماركوف.

مقدمه
يكپارچهكردن تصميمهاي بهينهاي كه بـه صـورت جداگانـهاخذ ميشوند و آثار آن ها بر يكديگر لحاظ نميشـود، نـوعيبهينـهسـازي در سيسـتم اسـت. بـه همـين دليـل امـروزه تحقيقات فراواني در زمينة يكپارچهديدن دو يا چند موضوع مرتبط با هم انجام ميگيـرد. يكپارچـه كـردن تصـميمهـايقيمتگذاري و تخصيص موجودي يكـي از ايـن موضـوعات است كه در اين پژوهش بررسي ميشود.
براي مثال، شركتي را درنظـر بگيريـد كـه دو كـلاس ازمشتريان وفادار و موقتي محصول توليدي آن را مـيخرنـد.هر مواجهه با كمبود موجب ازدست رفتن مشتري در آينـدهمي شود. بديهي است براي سيستم هزينة كمبود در زمينـةمشتريان وفادار بيشتر از هزينة مواجهه با كمبود در زمينـةمشتريان موقتي است. در كنـار ايـن تنـوع در كـلاسهـايمشتريان، شركت ممكن است قيمت محصول خود را در دو سطح متفاوت براي مشتريان وفادار و مـوقتي تنظـيم كنـد.

Email: [email protected] 021- 66022702 :نويسندة مسئول: تلفن: 66165711-021 فاكس *
پس اين فرصت براي شركت وجود دارد كه با افزايش قيمت در زمانهايي كه سطح موجودي كالا پايين است، از مزاياي قيمتگذاري پويا استفاده كند و همچنين در شـرايطي كـهموجودي محدودي دارد با توقف فروش به مشتريان موقتي، مانع از رخداد كمبود براي مشتريان وفادار شود. مك گيل و ون رايـ زين [1] اولـ ين كسـ اني بودنـ د كـ ه درمـ ورديكپارچه كردن اين دو نوع تصميم بحث كردند و گفتند: »به يكپارچگي تصميمهاي قيمتگذاري و تخصـيص موجـوديبايد بيشتر توجه شود.« اولين بار قيمتگذاري و جيرهبنـديبـه صـورت يكپارچـه در پـژوهش گنـز و سـاوين [2] بـراي تسهيلاتي كه اجاره داده ميشدند انجام گرفته اسـت. البتـهدر آن پژوهش براي گروهي از مشتريان فقط از جيره بنـدياستفاده ميشود و براي گروهي ديگـر از مشـتريان تنهـا ازقيمتگذاري استفاده ميشود و تفاوت عمدة آن مسـئله بـامس ئلة م ورد بررس ي در اي ن پـژوهش، ماهي ت مح يطكسب وكار است. همچنـين در آن پـژوهش، جيـرهبنـدي وقيمتگذاري براي تسهيلاتي كه اجاره داده ميشدند بهكـارگرفته شده است، درحالي كه در اين پژوهش اين سياستها درمورد قيمت و جيرهبندي يك محصول بهكار ميرود؛ براي مثال، خودروسازي را درنظر بگيريد كه محصولات خود را با دو سـازوكار فـروش نقـدي و فـروش اعتبـاري بـه فـروش مي رسـاند. هنگـام محـدوديت موجـودي، شـركت تـرجيحمي دهد محصولات خود را فقط به صورت نقـدي بفروشـد ودليلي براي فروش اعتباري وجود ندارد. فروش اعتباري نيـزدرصورتي استفاده ميشود كه سـطح موجـودي بـالا باشـد.قيمت محصول در هر دو سازوكار فروش نقـدي و اعتبـارييكسان است، ولي فروش اعتباري نقش قيمت پايينتر را در مسئلة دوقيمتـ ي بـازي مـيكنـد. دليـل ايـن موضـوع نيـزپرداخت مبلغ در چند قسط در يك دورة زماني اسـت و بـالحاظ كردن نـرخ بهـرة پـول حالـت فـروش اعتبـاري ارزشبيشتري نسبت بـه نقـدي بـراي مشـتري ايجـاد مـيكنـد.مسئلهاي كه در آن تأمين كننده دو گزينـة خريـد نقـدي واعتباري به خردهفروشها ارائه مي كند در يانگ و همكـاران [3] مطالعه شده است.
پژوهش هاي متعددي در ادبيات نشان ميدهد در هنگام وجود كلاسهاي مختلـف مشـتري، سياسـت بهينـه بـرايكمينه كردن كل هزينههاي سيستم، جيرهبنـدي موجـودياست. جيرهبندي موجودي به معني توقف فروش به مشتريان كم اهميت به منظور رزروكردن موجودي براي برآورده كـردنتقاضاي مشتريان مهمتر در آينده اسـت. همچنـين، امكـانتعيين قيمت از بين چندين قيمت مختلف بـراي محصـول،در شاخة قيمتگذاري پويا قرار گرفته است. قيمـت گـذاريپويا به معني تغييردادن قيمت به صـورت پويـا بـا توجـه بـهسطح موجودي است.
بـهك ارگيري مش ترك قيم تگ ذاري و جي رهبن دي درصورتي مفيد است كه مجموعة قيمـت هـاي امكـان پـذير محدود باشد و كاهش تقاضـا از طريـق افـزايش قيمـت بـامحدوديت روبه رو باشد. چنـين محـدوديتهـايي بـه دليـلجلوگيري از خدشه دارشدن برند شركت در ذهن مشـتريان،قوانين دولتي و… است. شـرايط درنظ رگرفتـه شـده در ايـنپژوهش بـه شـركتهـايي مربـوط مـي شـود كـه مجموعـةمحدودي از قيمتهاي امكانپذير را دارند و به همين دليل در شرايط مواجهه با كمبود، سياست جيرهبنـدي را نيـز دركنار قيمتگذاري بهكار ميگيرند.
مروري بر ادبيات تحقيق
در شاخهاي از ادبيات در زمينة تخصيص موجودي، فرانك و همكاران [4] يـك سيسـتم موجـودي مـرور دورهاي بـا دوكلاس مشتري درنظر گرفتهاند. آن ها درنهايت يك سياست , , پيشنهاد ميكنند كه و تعيين مـيكننـد چـهزماني و چه مقدار سفارش داده شود و مشـخص كننـدة سياست جيـره بنـدي اسـت. بـه طـور مشـابه دشـپاندي و همكاران [5] يك سياست , را با دو كلاس مشـتري مطالعه كردهاند و يك سياست , , پيشنهاد دادهاند كه در آن آستانهاي براي جيرهبنـدي اسـت. ارسـلان وهمكاران [6] يك سياست كنترل آستانهاي و يك سازوكار برآورده كردن سفارشهاي عقب افتاده براي يـ ك سياسـتمـرور پيوسـته , بـا زمـان تـدارك قطعـي پيشـنهاد داده اند.
سياستهاي جيرهبندي پويا نيز در دو پژوهش تيونتر و هانيولد [7] و فاديلوگلو و بولـوت [8] تحليـل شـدهانـد. درسيستمهاي جيرهبندي پويا، سطوح آستانهاي كـه در آن هـا موجودي براي تقاضاي مشتريان مهمتر رزرو مـي شـود، بـهزمان باقيمانده تا رسيدن سفارش بعدي بسـتگي دارد و بـههمين دليل اين سطوح ثابت نيستند و پويا هستند.
پنج پژوهش ها [9]، ها [10]، دي وريكورت و همكاران [11]، دي وريكورت و همكـاران [12] و هوانـگ و ايروانـي
[13]نيز سياستهاي جيرهبندي را براي يك سيستم توليـد
(نه يك سيستم موجودي) بهكـار گرفتـهانـد. در همـة ايـنمقالات فرض شده است زمـان توليـد داراي توزيـع نمـايياست و ورود مشتريها از فرايند پواسـون پيـروي مـيكنـد.
تفاوت عمده بين اين تحقيقات نحوة برخورد آن ها با كمبود است، به نحويكه بعضي از آن ها كمبودها را به صورت فروش ازدست رفته درنظر مـيگيرنـد و بعضـي ديگـر كمبودهـا رابه صورت سفارش عقب افتاده مدلسازي ميكنند. ساده ترين سياست تخصيص موجودي ايـن اسـت كـه از جيـرهبنـدياستفاده نشود و مشتريان براساس زمان مراجعة آن هـا كـالادريافت كنند. در ادبيات، ميزان كارايي هر سياست را نسبت به اين سياست ميسـنجند. دي وريكـور و همكـاران [11] مزايـاي چنـدين سياسـت مختلـف تخصـيص موجـودي را بررسي كردهاند. هركدام از اين سياستها تعيين مـيكننـدكه موجـودي بـه چـه صـورت تخصـيص داده شـود. در آنپـژوهش عملكـرد ايـن سياسـتهـا در حالـت بهينـهبـودن پارامترهاي هر سياست با يكديگر مقايسه ميشـوند كـه بـهايجاد يك ديد بهمنظور انتخـاب آن هـا در شـرايط مختلـفمنجر ميشود. مرور جامعي بر ادبيات جيرهبندي موجـوديدر تيونتر و هانيولد [7] انجام گرفته است.
شاخة دوم از ادبيـات بـه تحقيقـاتي مربـوط اسـت كـهتصميم درمورد قيمت را مطالعه ميكنند. اين پژوهش ها نيز فرضـيات متفـاوتي را در زمينـة سيسـتم موجـودي لحـاظ مي كنند. دستهاي از اين تحقيقات مسئلة روزنامـه فـروش را درنظر ميگيرند كه در آن ها افق زماني به صورت يك دورهاي و موجودي انتهاي دوره نيز فاسدشدني است. در اين دسـتهاز پژوهش ها علاوه بـر مقـدار سـفارش، قيمـت فـروش نيـزبه صورت هم زمان با مقدار سفارش تعيـين مـيشـود. لـي وآتكينز [14] و ژانگ و بل [15] نيز تصميم قيمتگـذاري رادر مسئلة روزنامه فروش بررسي كردهانـد. در لـي و آتكينـز[14] تقاضا به صورت يـك تـابع تصـادفي از قيمـت درنظـرگرفته شده است. در ژانگ و بل [15] نيـز چنـدين كـلاسمشتري براي مسئلة روزنامهفروش درنظر گرفته شده است.
پتروزي و دادا [16] مروري بر اين مسائل تـكپريـودي كـهتك محصولي نيز هستند انجام گرفته است.
در بيشتر تحقيقات قيمتگذاري كـه بـه سيسـتمهـايموجودي مرور دورهاي مربوط هستند، فرض ميشود تقاضـادر هر دوره يك تابع تصـادفي جمعـي يـا ضـربي از قيمـتاست. در سيستمهاي مرور پيوسته نيز بـراي مثـال، چـن وسيمچيلوي [17] فـرض مـيكننـد زمـان بـين ورودهـا وهمچنين اندازة سفارش در ورود بعدي به قيمت تنظيم شده در آخرين ورود بستگي دارد. گليگو و ونرايزين [18] يـكمدل موجودي- قيمتگذاري بررسي كردهاند كـه در زمـانصفر، شركت به اندازة قلم از يـك كـالا در اختيـار دارد وبه انـداز ة زمـان بـراي فـروش آن هـا دارد. تقاضـا در ايـنسيستم با يك فرايند پواسـون كـه داراي نـرخ اسـت مدلسازي ميشود كه اين نرخ تقاضـا نسـبت بـه قيمـت كاهشي است. همچنين، آن ها يك مجموعة گسسته را براي قيمتها درنظر گرفتهاند.
حــال معــدود پــژوهشهــايي بررســي مــي شــود كــه قيمت گذاري و جيرهبندي را به صورت توأم به كار گرفتهانـد.
در گنز و ساوين [2] شركتهايي كه وسايلي مانند خودرو را اجاره ميدهند با وجود دو كلاس مشتري مطالعه مـي كنـد.شركت اجاره دهنده بايد تصميم بگيرد چگونه جيرهبنـدي رادر بين مشتريان كلاس يك اجرا كنـد و نيـز چگونـه بـرايمشتريان كلاس دو قيمتگـذاري كنـد. در ايـن پـژوهش،نويسندگان مشخصات سياست بهينه را براي مسئلة مـوردنظر تعيين كردهاند. پژوهش جديدتري در اين زمينـه بـهچو و همكاران [19] مربوط است كه يك موجودي اوليه و يك زمان از قبل تعيين شده براي فروش آن درنظـر مـي- گيرد. نويسندگان با استفاده از مدلسازي برنامهريزي پويا توانستهانـد قيمـتهـاي بهينـه و همچنـين نحـوة بهينـةتخصيص موجودي را تعيين كنند. پژوهش هاي احمـدي وشوندي [20] احمـدي و شـوندي [21] از پـژوهش هـاي پايهاي در اين زمينه هستند.
مدلسازي مسئله با استفاده از فرايند تصـميمماركوف
يك مدل تصميمهاي متوالي بدين صورت توصيف مـي شـود:در يك نقطـة مشـخص از زمـان، فـرد تصـميمگيـر حالـتسيستم را مشاهده ميكند و براساس حالت مشـاهده شـده ، تصميم گيرنده يك اقدام را انتخاب ميكند. اين اقدام بـه دونتيجه منجر ميشود: تصميمگيرنده پاداشي فوري دريافـتميكند يا هزينه اي فوري پرداخـت مـيكنـد و سيسـتم درنقطة زماني بعدي براساس توزيع احتمالي كه متأثر از اقدام انجام گرفته است، به يـك حالـت جديـد مـيرود. در نقطـةزماني بعدي، تصميم گيرنده با يـك مسـئلة مشـابه روبـه رو است، ولي حالا ممكن است سيسـتم در يـك حالـت ديگـرباشد و نيـز ممكـن اسـت مجموعـة ديگـري از اقـدامهـايقابل انتخاب وجود داشته باشد. در اين قسمت، مسئلة مـوردنظر در ايـن پـژوهش بـا ايـن مـدل تصـميم هـا ي متـواليمدل سازي ميشود.
يك سيستم توليـد ر ا درنظـر بگيريـد كـه فقـط يـكمحصول توليد ميكند و هزينة راهاندازي ندارد. همچنين، زمان توليد به صورت احتمالي است و از يـك تـابع توزيـعنمايي پيروي ميكند. فرض مـي شـود كـلاس مشـتريوجود دارد و توليدكننده مي تواند قيمـت فـروش را در قيمت مختلف تنظيم كند. ورود مشـتري ان نيـز از فراينـدپواسون پيروي ميكند و نسبت به قيمـت حسـاس اسـت.نمادگذاري زير براي فرمولـه كـردن مسـئله در ايـن ابعـاداستفاده ميشود:
: تعداد كلاسهاي مشتريان
: تعداد قيمتهاي امكانپذير
: هزينة فروش ازدست رفته براي كلاس مشتري
, … ,2,1 فرض ميكنيم كه cc⋯c
: نرخ توليد
: هزينة نگهداري يك واحد كالا در واحد زمان
: مجموعة قيمتهاي ممكن، ⋯
: نرخ تنزيل
: نرخ ورود مشتريان كلاس هنگامي كـه قيمـت باشد
فـرض مـيكن يم كـه هنگـامي كـه ′ باشد براي ,…,2,1
: نرخ ورود كل مشتريان هنگامي كه قيمت فروش
باشد ,…,1 داريم ⋯
: ن رخ ورود ك ل مش ترياني ك ه هزين ة ف روش
ازدست رفت ة آن ها بزرگتر از است هنگام يكه قيمت فروش باشد
طبـق تعريـف: ,…, و ∑ و

با استناد به پژوهش پيوترمن [22] ميتوان اين مسـئله را يك مسئلة تصميمگيري متوالي با افـق زمـاني نامحـدوددرنظر گرفت كه نقاط تصميم مي توانند به صورت پيوسته در هر نقطه زماني قرار بگيرند. حالت سيستم، ميزان موجـوديدرنظر گرفته مي شـود و بـا نشـان داده مـي شـود. نقـاطتصميم، زمانهايي هستند كه يك مشتري وارد ميشود يـايك تكميل توليد رخ ميدهد. اقدامها در هر نقطـة تصـميم نيز عبارت اند از تصميم درمورد توليد، قيمت و جيرهبنـدي.بعد از هر تكميل توليد بايد تصميمگيرنـده درمـورد توليـديك واحد بيشتر يا توقف توليد تصـميم بگيـرد و همچنـينبايد قيمت فروش نيز در اين نقاط مشخص شـود. هـر ورودمشتري نيز يك نقطة تصميم است كه در آن بايـد درمـوردپذيرش يا رد آن مشـتري تصـميمگيـري شـود. همچنـين،درصورتي كه اين تصميم موجب تغييـر در سـطح موجـوديشود، بايد درمورد قيمـت جديـد نيـز تصـميمگيـري شـود.
پ اداشه ا در اي ن سيس تم عب ارت ان د از هزين ة ف روش ازدست رفته، هزينة نگهداري موجودي و درآمدهاي فـروشكه آخرين مورد مثبت و دو مورد اول منفي هستند. درمورد احتمالات انتقال نيز كه جزئي از هر فرايند تصميم ماركوف اســت، در ادامــه بعــد از تبــديل بــا اســتفاده از تكنيــكيكسان سازي توضيح داده ميشود.
با استناد به پيوترمن [22] ايـن مسـئلة تصـميمگيـريمتوالي داراي ويژگيهاي فرايند ماركوف است و يك فرايند تصميم ماركوف است. بـه عـلاوه، ايـن فراينـد يـك فراينـدتصميم شبهماركوف است، زيـرا زمـان بـين نقـاط تصـميمتصادفي است. توزيع زمان بين نقاط تصميم نيز يك متغيـرتصادفي نمايي است. اين زمان، كمينة چند متغير تصـادفينمايي است كه عبارت اند از زمان توليد- اگر توليـد متوقـفنباشـد- و ورود يـك مشـتري از هـر كلاسـي از مشـتريان.
درنتيجه، نوع خاصـي از فراينـدهاي تصـميم شـبهمـاركوفوجود دارد كه زمان بين نقاط تصميم آن نمايي اسـت و بـهآن فرايند تصميم ماركوف با زمان پيوسته گفته ميشود. در اينجا از تكنيك مفيد يكسانسـازي اسـتفاده مـيشـود كـهليپمن [23] براي مدلسازي ايـن فراينـدها معرفـي كـردهاست.
در تكنيك يكسانسازي، زمان بين نقاط تصميم يكسان فرض ميشوند، به طوري كه زمان بين نقاط تصميم، مستقل از حالت سيستم و اقدام انتخاب شده باشد. اين زمان داراي توزيع نمايي با يك نرخ ثابـت اسـت. ايـن نـرخ ثابـت بايـدبزرگتر يا مساوي با بيشينة نرخ انتقـال در سيسـتم اصـليقبل از يكسانسازي باشـد. بيشـترين نـرخ انتقـال در ايـنسيستم هنگامي رخ مي دهد كـه تسـهيل توليـدي درحـالكاركردن باشد و قيمت فروش بر پايينتـرين قيمـت يعنـي تنظــيم شــده باشــد. پــس نــرخ انتقــال در سيســتم
يكسان سازي شده ممكن است باشد. در حالتهايي كه قيمت فروش برابر است و تسهيل توليدي نيز درحال كاركردن است، سيستم با نرخ به همان حالـتقبلي ميرود و هنگامي كه تسهيل توليدي درحال كـاركردننيست، اين نـرخ انتقـال مجـازي برابـر بـا است. هنگامي كـه قيمـت فـروش برابـر بـا اسـت، سـايراحتمالات ا نتقال بدين صورت است: انتقال بعدي با احتمـال ورود يك مشتري از كلاس خواهد بود و اگـر تسـهيلتوليدي درحال كاركردن باشد، انتقال بعـدي بـا احتمـال يك تكميل توليد خواهد بود.
ارزش متناظر با داشتن واحد موجـودي كـه برابـر بـا
سود تنزيل شدة مورد انتظار در افق زماني نامحدود است بـا
نشـان داده مـ يشـود. بـدون ازدسـت دادن عموميـت مسئله، فرض ميشود 1. بـدينترتيـب، بـاروش پيوترمن [22] معادلة بهينگـي بـه صـورت زيـر بيـانمي شود:
(1)
v x  h x μ max v x 1, v x 
 max
j1,2,..,m
 n λij max v x  c B v x i ,ij    λm λ j  v x 
 i 1

كه در آن
00B v xij   v xv x   c if x1i p if xj  در اين معادلة بهينگي سه عبارت بيشينهسـازي وجـوددارد. هريك از اين بيشينه سازي ها در زمينـة يـك تصـميماست. عبـارت بيشـينهسـازي اول در زمينـة تصـميمگيـريدرمورد توليد يك واحد بيشتر يا توقف توليد است. عبـارتدوم در زمينة انتخاب قيمت بهينه است هنگامي كـه سـطحموجودي در سيستم برابر با باشد. قيمت انتخاب شـده دراين عبـارت، نـرخ ورود هريـك از كـلاسهـاي مشـتريان راتعيين ميكند. اگر قيمت بهينة انتخاب شده باشـد، نـرخورود مشتريان كلاس برابر بـا اسـت و نـرخ ورود كـلمشتريان است؛ بنابراين، تفاوت بـين بيشـينة نـرخ ورودممكن يعني و اين نرخ ورود نشان دهندة احتمال رفـتنسيستم به همان حالت فعلي يعني است. آخـرين عبـارتبيشينهسـازي در زمينـة تصـميم درمـورد فـروش بـه يـكمشـتري واردشـده و ردكـردن وي و نگهداشـتن موجـودي به منظور برآورده كردن تقاضاي مشتريان مهـم تـر در آينـدهاست.
اگر سطح موجودي 0 باشد، فقط يك گزينه وجود دارد و آن ازدست دادن فروش به مشتري واردشده از كلاس است كه شايد مهمترين كلاس باشد. هنگـامي كـه 0 باشد، در پي هر ورود بـه يـك تصـميم درمـورد فـروش يـااجتناب از فروش نياز اسـت. فـروش بـه مشـتري واردشـدهسطح موجودي را به 1 كاهش ميدهد و دريافت مبلـغ را به همراه دارد، ولي درصورتي كه از فروش بـه مشـترياجتناب شـود، ميـزان موجـودي در همـان سـطح بـاقيمي ماند و هزينة فروش ازدست رفته به سيسـتم تحميـلميشود. در قسمت بعد، اين معادلة بهينگي تحليل مي شود و ساختار سياست بهينه براي مسئلة معرفي شـده بـهدسـت مي آيد.
ساختار سياست بهينه
به منظور تحليل ساختار سياسـت بهينـه، ابتـدا نشـان دادهمي شود كه مقعـر اسـت. از آنجاكـه يـك تـابع برگشتي برحسب خودش است، بايد نشان داده شود كه اگر در تكرار اول مقعر باشـد ايـن ويژگـي مقعربـودن درتكرار بعدي نيز باقي ميماند. ويژگي ديگري كه لازم اسـتدر تكرارهاي مختلف حفظ شود اين است كه بـراي0 بايد باشد 1. به ايـن ويژگـي
نياز است، زيرا هنگاميكه قيمت فـروش برابـر بـا يعنـيبالاترين قيمت باشد و يـك مشـتري از مهـمتـرين كـلاسمشتريان برسد، تصـميم بهينـه بـي گمـان فـروش بـه ايـن
مشتري اسـت؛ يعنـي بايـد1
برقرار باشد. مجموعة همة توابع مقعر داراي اين ويژگي با نشـان داده مـي شـود. بـراي اينكـه نش ان داده ش ود اگـر ∈ آنگاه بعد از هر تكرار، مجموعه اين خاصـيت خود را حفـظ مـي كنـد ، عملگـر بـه صـورت زيـر تعريـفمي شود:
(2)
Tv x  h x μ maxv x 1, v x 
maxp j P in1λij maxv x c v xi ,  1 p j 
λm λ j v x 
آن گاه داريم:
لم 1: اگـر∈ و بـه طـور خطـي برحسـب افزايشي باشد آن گاه ∈.
قضـية 1: ي ك سياس ت آس تانهاي ب ا س اختار كل ي , ,…, , , ,…, , بــــ ه منظــــ ور
جيره بندي، قيمت گذاري و توليـد ، بهينـه اسـت كـه در آن
0. . .…
الف) سياست موجودي پايه با سـطح بيشـينة بـرايتصميم درمورد توليد، سياست بهينه است.
تنظيم قيمت فروش به صورت

⋮ بهينه است.

0

اعمال جيرهبندي به صورت توقف فروش به كـلاس

1
مشتري ⋮ و اولويت هاي
3
02پايين تر از آن بهينه است.

اثبات: از معادلة بهينگي مشخص مي شود توقف توليد هنگامي بهينه اسـت كـه 1، زيـرا مقعر است؛ بنابراين، يك وجود دارد كه به ازاي آن باشد
1 و اين بيشينة سطح براي توليد
است.
در زمينة عبارات مربـوط بـه تصـميم جيـرهبنـدي در
معادلة بهينگي، 1,، يك
وجــود دارد كــه بــراي داريــم
يا به طور معـادل1
، زيرا 1 نسـبت بـه كاهشـي
است.
در زمينة عبارت مربوط به تصـ ميم قيمـت در معادلـةبهينگي از خاصيت مقعربـودن اسـتفاده مـيشـود ونشان داده مي شود كه يك وجود دارد كه براي تصميم بهينه اين است كه قيمـت برابـر بـا تنظـيمشود؛ يعني
(3)
,1
,1

در تحليـل ايـن نامسـاوي بـهازاي 1,…,2,1 تعريف ميشود:

maxci | maxv x c v xi ,  1p j 
 v x ci 
cq 
φ if maxv x c v xi ,  1p j 

 v x  1p for all i j

و
maxci | maxv x c v xi ,  1 p j+1 

 v x ci 
cq’  φ maxv x c v xi ,   1 p j+1 

 v x  1 p j+1 for all i در نامساوي (3) ممكن است پنج حالت رخ دهد كـه درجدول 1 نشان داده ميشود:

جدول 1. حالتهاي مختلف نامساوي (3) ,…,,,

(′) حالت 1
(′)

حالت 2حالت 3حالت 4حالت 5

با تحليل نامساوي (3) از طريق اين حالتها و اسـتفاده
از ويژگـــي مقعربـــودنيعنـــي كاهشـــيبـــودن 1 نشـان داده مـي شـود كـه يـك سـطح موجودي وجود دارد كه در آن سطح اين نامساوي برقـرارميشود و بهازاي سـايرهـاي بـزرگتـر از آ ن نيـز برقـرار ميماند. درنتيجه، اگر ميزان موجودي از سطح مشخصـيبيشتر شود، قيمت نسبت به قيمت درآمد بيشتري ايجاد ميكند. درادامه مشاهده مي شـود كـه در ميـان ايـنحالتها، فقـط حالـت 5 امكـان رخ دادن دارد و نقطـه اي را به دست ميدهد كـه در آن تغييـر سياسـت روي مـيدهـد.حال ت 5 يعن ي هنگ اميكـه توليدكننـده تقاض اي هم ة كلاسهاي مشتريان را مـي پـذيرد و هـيچ كـلاس مشـتريتحت جيرهبندي نيست، با افزايش سطح موجـودي تصـميمبهينه اين است كه قيمت فروش يك واحد كم شود و از به تغيير كند. ميتوان اين تغييـر قيمـت را در جهـتعكس نيز تعبير كرد. بـدينصـورت كـه بـا كـاهش ميـزانموجودي از يك سطح مشخص، قيمت فروش از به افزايش مييابد. حال اين 5 حالت مربوط بـه نامسـاوي (3) تحليل ميشود و نشان داده مي شود كه چـرا چهـار حالـتاول آن نميتوانند يك نقطة تغيير در سياست بهينه باشند.
حالت 1: اين حالت بيان مي كند يعني بـراي
1 داريـــــم 1,
1. همچنــــين، و پـــــس داريـــــم 1 ,
1 كه صحيح نيست، زيرا در اين حالت فرض كرده بوديم .
حالـت 2: در اي ن حال ت ب ا جايگ ذاري مس تقيم در نامساوي (3) داريم:
(4)

ميتوان اين نامساوي را بهصورت زير ساده كرد:
(5)
1


مــــيتــــوان نشــــان داد ؛ يعنــــي 1 كه درحال كاهش است، قبـل از اينكـه
را قطع كند، را قطع ميكند و فرض اين حالت تغيير ميكند. پس اين حالت رخ نميدهد.
حالت 3: اين تركيب از فرضيات نيـاز دارد كـه داشـته
باشــــــ يم 1 و
1 درحالي كه برقراربودن هم زمان ايـندو مورد امكانپذير نيست، زيرا . پس اين حالت نيز رخ نميدهد.
حالت 4: در اين حالـت، نامسـاوي (3) بـه صـورت زيـرنوشته ميشود:
(6)
Λ1∑
λ1
كه ميتوان آن را بهصورت زير نوشت:
(7)

بــه راحتــي مــي تــوان نشــان داد. بنــابراين
1 در مسير كاهشي خود را قبل از
قطع مي كند و تصميم بهينه طبق حالت 5 تغيير ميكند.
حالت 5: در اين حالت نامسـاوي (3) معـادل اسـت بـانامساوي زير:
(8)
λ 1 λ 1

كه بعد از سادهكردن آن داريم:
(9)
1


مشــاهده مــيشــود تنهــا مقــداري اســت كــه1 در مســير كاهشــي خــود بــهدليــل مقعربودن ، آن را قطع ميكند. درنتيجـه، اگـر هـيچكلاسي از مشتريان تحت جيـره بنـدي نباشـند، بـا افـزايشسطح موجودي، قيمت از به كاهش مييابد.
مطالعة عددي
به دليل كاهش حجم محاسبات در مطالعة عددي، سيستمي با تنها دو كلاس مشـتري 1 و 2 درنظـر گرفتـه مـي شـود.همچنين، فقط دو قيمت درنظر گرفته مي شـود كـه قيمـتپايينتر با و قيمـت بـالاتر بـا نشـان داده مـيشـود.
نرخ هاي ورود مشتري نيز متناظر با اين قيمتها با λ و λ نشان داده ميشود.
اگر از سياست جيرهبندي و قيمتگذاري توأم اسـتفاده
شود، ميتوان سيستم توليد را يك سيستم صف M/M/1/S تفسير كرد كه شـكل 1 زنجيـرة مـاركوف متنـاظر بـا ايـنسيستم صف را نشان ميدهد. حالت سيستم نشـاندهنـدةميزان موجودي در سيستم است.

فـرض كنيـد نشـاندهنـدة احتمـال حالـت پايـاي سيستم براي وجود محصول در سيستم باشد. همچنـين،ميانگين موجودي سيستم هنگاميكه سطح جيرهبندي برابر با ، سطح قيمتگذاري برابر با و موجودي پايه برابـر بـا باشد با ,, نشان داده مـي شـود. در ايـن صـورت،سود مورد انتظار سيستم كه با ,, نشان داده شده است بهصورت زير محاسبه ميشود:
(10)
 R
P R K S ,,  π λn  1H Hp 
n1 
 K π λn  H Hp  S π λn  L Lp 
n R 1 n K 1 
 R
hI R K S ,, λ1Hc1 0π λ2Hc2 πn 
n0 
قــرار دهيــد

و

و

آن گــاه احتمالات حالت پايا طبق روابط صف M/M/1/S بـه صـورتزير محاسبه ميشود:
(11)
1

542293-18413

R
n1πn π01ρ11
KR ρ11ρ1K R 

n R 1πn π ρ0 111ρ1
SR K R ρ2 1ρ2S K 

n K 1πn π ρ ρ0 11 11ρ2
بنابراين، داريم:
(12)
100333249936

,,∑

شكل 1. زنجيرة ماركوف متناظر با سياست تركيبي جيرهبندي و قيمتگذاري

بــه منظــور تعريــف مســائل نمونــه، مقــادير مختلــف درنظرگرفته شـده بـراي پارامترهـا در جـدول 2 نشـان دادهمي شود.

جدول 2. دادههاي استفادهشده در مطالعة عددي
نرخ توليد نرخ هاي ورود قيمتها هزينهها
2.2 1.5
1.5 12 1
2 3 9 0.2

به منظور تحليل عملكرد سياستهاي مختلف نسبت بـه⁄ با ثابت بودن مقادير پارامترهاي موجود در جـدول 2، مقدار هزينة فروش ازدسـت رفتـه بـراي كـلاس 1 برابـر بـا20,…,2,1 درنظر گرفته مي شود كـه در ايـن صـورت
20 مسئله نمونـه ايجـاد مـي شـود. بعـد از بـه دسـت آوردن تصميم بهينه و مقدار سود بهينه براي هر مسـئلة نمونـه، ازمعيارهاي بدون بعد زير براي مقايسة سياستهاي مختلـفاستفاده ميشود. شكل 2 سياستهاي مختلف معرفي شده را به ازاي مقادير مختلف c ⁄c با يكديگر مقايسه ميكند.
1: درصد افزايش سود سياست تركيبي را نسبت بـهسياستي كه نه جيرهبندي و نه قيمتگذاري ميكند نشـانميدهد.
2: درصد افزايش سود سياست جيرهبندي را نسـبتبه سياستي كه نه جيرهبندي و نه قيمـت گـذاري مـيكنـدنشان ميدهد.
3: درصد افزايش سود سياست قيمتگذاري را نسبت به سياستي كه نه جيرهبندي و نه قيمـت گـذاري مـيكنـدنشان ميدهد.

تصميمهايدرموردمشتري

شكل 2. درصد افزايش در سود براي سياستهاي مختلف به عنوان تابعي از ⁄

همانطوركه شكل 2 نشان ميدهـد، سياسـت تركيبـيقيمتگذاري و جيرهبندي سود بيشتري را در مقايسه بـا دوسياســت ديگــر ايجــاد مــي كنــد. هرچــه هزينــة فــروشازدست رفته براي مشتريان كـلاس 1 نسـبت بـه كـلاس 2 بيشتر باشد، ميزان مؤثربودن سياسـت جيـرهبنـدي بيشـترميشود. همان طوركه مشاهده مي شود، هرچه هزينة فـروشازدست رفته براي مشتريان كـلاس 1 نسـبت بـه مشـتريانكلاس 2 بيشتر شود، تفاوت بين دو سياست كه يكي فقـطاز جيرهبندي استفاده ميكند و ديگري قيمت گذاري را نيـزدر كنار جيرهبندي استفاده ميكند، كمتر ميشـود. چنـيننتيجهاي دور از ذهن نيست، زيرا هرچـه تفـاوت دو كـلاسبيشتر شود، اهميت جيرهبندي بيشتر ميشود، ولي اهميـتقيمتگذاري تغييري نميكند و به همين دليـل درمجمـوعاهيمت جيرهبندي بيشتر ميشود.
به منظور تحليل عملكرد سياستهاي مختلف بـا توجـهبه نرخ توليد، پارامتر 8 ثابت درنظر گرفته ميشـود وپارامتر نرخ توليد از 2/0 تا 2/11 با فواصل 5/0 افزايش داده مي شود. بدين ترتيب، 24 مسئلة نمونه ايجاد مـي شـود كـهنتايج آن در شكل 3 مشاهده مي شود.

شكل 3. درصد افزايش سود براي سياستهاي مختلف به عنوان

تابعي از
فرايندماركوف
همانطوركه در شكل 3 مشاهده مي شود، درصورتي كـهنـرخ توليـد نسـبت بـه نـرخ ورود مشـتريان كمتـر باشـد، سياس ته اي م ديريت تقاض ا اهمي ت بيش تري دارنــد.
74676-679071



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید