نشریه تخصصی مهندسی صنایع، دوره 49، شماره 2، پاییز و زمستان 1394، از صفحه 273 تا 285
فرمول بندی قابلیت اطمینان و ایمنی در سیستم های مطمئن پشتیبانیشده با رزرو سرد بهکمک مدل مارکوف

غلامرضا لطیف شبگاهی1‌*، کوروش اصلان صفت2 و مهدی بهار گوگانی3 ‌
استادیار گروه کنترل و ابزار دقیق دانشگاه شهیدبهشتی
کارشناس ارشد مهندسی کنترل دانشگاه شهیدبهشتی
کارشناس ارشد مهندسی کنترل دانشگاه شهیدبهشتی

)تاریخ دریافت 17/12/92 ـ تاریخ دریافت روایت اصلاح شده 10/11/93 ـ تاریخ تصویب 16/3/94( چکیده
یکی از مباحث مهم در صنایع مختلف، اعم از حمل ونقل دریایی، هوایی، نظامی، شیمیایی و هسته ای، تحمـل پـذ یری آن هـا درمقابـل عیـوب وخطاهاست. از جملة مهم ترین ویژگی های یک سیستم تحمل پذیر عیب می توان به قابلیـت اطمینـان و ایمنـی بـا در آن اشـاره کـرد. یکـی ازروش های مرسوم برای افزایش این دو ویژگی، استفاده از افزونگی در ساختار سیستم هاست. این پژوهش، تـأث یر رزرو سـرد بـ ر افـزایش قابلیـتاطمینان و ایمنی سیستم را بررسی می کند و برای این کار، از مدل مارکوف بهسبب جامعیت و قابلیـت آن در مـدل سـاز ی اولویـت، وابسـتگی عملیاتی و زمانی، ریکاوری و ترتیب و توالی سیستم ها بهره میگیرد. در پژوهشهای پیشین، برای قابلیت اطمینان و ایمنی سیستم رزرو سـرد ، فرمولی کلی ارائه نشده است. این پژوهش با استفاده از مدل مارکوف سیستم رزرو سرد، رابطه ای برای دو ویژگی اتکاپذیری مذکور ارائه میدهد و از طریق آن ها تأثیر تعداد رزروها، میزان خرابی آن ها، کیفیت کار و سازوکار سوئیچ را در عملکرد سیستم بررسی می کند.

واژه‌های‌کلیدی: افزونگی، ایمنی، رزرو سرد، قابلیت اطمینان، مدل مارکوف.

مقدمه
دسته ای از سیستم های مـورد اسـتفاده در صـنایع نظـامی،شیمیایی، هسته ای و هوایی، بهدلیـل حساسـیت مأموریـتباید توانایی تحمل خطاهای نرم افزاری و عیوب سخت افزاری را داشته باشند .درواقـع ، ایجـاد عیـب در ایـن سیسـتم هـا،ممکن است عواقب فاجعه آمیز و جبرانناپذیری داشته باشد ]1[. بخشی از تلاش طراحان سیستم های مطمـئن در ایـناست که درصـورت ایجـاد عیـب، از هرگونـه ازکارافتـادگیسیستم جلوگیری کنند .درصورتی که سـطح تحمـل پـذ یری سیستم دربرابر عیوب پـایین باشـد، خسـارتهـای مـالی وجانی شایان توجهی بهبار می آید. برای این منظور، بسته بـهنوع کاربرد، بعضـی از ویژگـی هـا نظیـر قابلیـت اطمینـان وایمنی در طراحی سیستم لحا می شود.
قابلیت اطمینان
قابلیت اطمینـان 1 یـک سیسـتم عبـارت اسـت از احتمـال نویسندة مسئول: تلفن: 02188590492، فکس: 02188521968درست کارکردن آن در یک بازة زمانی معین بهشـرطی کـهدر لحظة شروع به کـار، بـه طـور صـحیح کـار کـرده باشـد.داشتن قابلیت اطمینان با ، زمة بسیاری از سیسـتم هـا وتأسیسات صنعتی است. طراحی برای قابلیت اطمینان با و راه های ارزیابی آن ،از جمله بحث های بسیار مهم در صـنایعامروز است. نیروگـاه هـا، هواپیماهـا، کشـت ی هـا و تجهیـزاتپزشکی ،از جملة این موارد بـه شـمار مـیرونـد. اسـتفاده ازافزونگی در یه های مختلف سیستم و استفاده از قطعـات وزیرسیستم های با کیفیـت مطلـوب، دو روش معمـول بـرایبهبود قابلیت اطمینـان سیسـتم هاسـت. ایـن ویژگـی را بـاروش های متعددی نظیر دیاگرام بلـوکی قابلیـت اطمینـان،درخت عیب و مدل مارکوف ارزیابی می کنند.
ایمنی
احتمال اینکه یک سیستم در بازة معینـی از زمـان درسـت Email: [email protected]
کار کند یا درصورت معیوبشدن، با انجام عملیات مناسـببه صورت ایمن از کار بیفتد- به طوری که عواقب فاجعه آمیزی بهبار نیاید- ایمنی2 نام دارد .سیستم هایی که بـه مـدارهایایمن تجهیز شدهاند، آثار رخدادهای ناخواسته و نامطلوب را ک اهش م یدهن د و از آس یب رس انی ب ه مح یط زیس ت ،ازدسترفتن خروجی، ازدست رفتن سرمایه و بهخطرافتـادنجان انسان هـا جلـوگیری مـی کننـد ] 2[. بحـث ایمنـی درسیســتم هــای حمــل ونقــل هــوایی، زمینــی و دریــایی،سیستم های کنتـرل در تجهیـزات پزشـکی و نیروگـاه هـایهسته ای بسیار حائز اهمیت است.
افزونگی
همانطورکه گفتـه شـد، یکـی از روش هـا ی مرسـوم بـرایتحمــل پــذیرکردن سیســتم دربرابــر عیــوب، اســتفاده ازافزونگی هاست. افزونگی3 ممکن است استاتیکی )غیرفعال یا پسیو4(، دینامیکی )فعال یا اکتیـو 5( یـا ترکیبـی از ایـن دوباشد [3] که در چهار سطح سختافـزار ، نـرم افـزار ، زمـان واطلاعات قابلپیاده سازی است] 4[.
در افزونگی استاتیکی، هـدف تولیـد خروجـی مـداوم وبی وقفه از سیسـتم و پوشـاندن عیـوب رخ داده در بعضـی ازماجول های افزونه است .از جملـه افزونگـ ی هـای اسـتاتیکیمی توان به ساختار NMR در سخت افزار و NVP در نرم افزار اشاره کرد] 3[.
در افزونگی دینامیکی، عیـب مـاجول درحـالکـار آشـکار می شود و پس از محلیابی عیب و ایزولهکـردن جـز معیـوب،عمل جایگزینی با رزرو صورت می گیـرد. رزروهـا را مـ ی تـوانبرحسـب نحـوة عملکـرد، بـه سـه دسـتة گـرم، ولـرم و سـرددسته بندی کرد.
رزرو‌گرم: در سیستم های حمایت شـده بـا رزرو گـرم6، ماجول های سیستم اعم از اصلی و رزروها ،به موازات یکدیگر کار می کنند .درصورتی که ماجول اصلی دچـار عیـب شـود،یکــی از مــاجول هــای رزرو جــایگزین آن مــی شــود. ایــن جایگزینی ،وقفه ای در کار سیسـتم ایجـاد مـ ی کنـد کـه در بعضی از سیستم ها پذیرفتنی نیست. ایراد سیسـتم هـایی ازایــن نــوع، مصــرف بــا ی انــرژی در آن هاســت. از میــان کاربردهای این نوع رزرو در صنعت می توان در نیروگاه هـایهسته ای و سیستمهای کنترل مبتنیبر PLC مورد استفاده در صنایع مختلف اشاره کرد] 6[.
رزرو‌ولرم: در این نوع رزروها )رزرو ولرم7( – که اغلـبدر افزونگی های نرم افزاری بهکار مـیرونـد – رزرو بـه صـورت نیمه روشن در کنار ماجول اصلی قرار داده می شود. این رزرو در زمان های ازپیش تعیین شده، با مـاجول اصـلی هماهنـگمی شود. وقفة جایگزینشدن این رزرو از رزرو گرم بیشـتر واز رزرو سرد8 کمتر است. همچنین میزان مصرف انـرژی دراین رزرو، بین میزان مصرف انرژی در دو رزرو گـرم و سـرداست.
رزرو‌سرد: در سیسـتم هـای دارای ایـن رزرو، رزروهـاهم زمان با ماجول های اصلی کار نمی کنند بلکـه درصـورتمعیوبشدن ماجولی از مـاجول هـای اصـلی سیسـتم، رزروشروع به کار می کند و در این بازة زمانی، وقفه ای گاه شایان توج ه در ک ار سیس تم رخ م ی ده د. ای ن س ازوکار ب رای سیستم های بدون وقفه مناسب نیست چراکه مـدت ی طـولمی کشد تا رزرو وارد عمل شود و پس از برق دار و گرمشدن ،ادامة کار ماجول قبلی ازکارافتـاده را پـی بگیـرد. از ایـن رو ،رزرو برای سیستم هایی که وقفه در عملکـرد آن هـا بحرانـیاست، مناسب نیست و برای آن هایی که وجود وقفه در کـارسیس تم ه ا، ض رر اساس ی در س رویس ده ی آن ه ا ایج اد نمی کند )نظیر سرورهای کامپیوتری پشتیبان، مـاهواره هـا،فضاپیماها و سیستمهای بلادرنگ از نوع نرم( مناسب است .البته این نوع از رزروها در سیستم هایی که مصرف انرژی در آن ها بحرانی است، گزینة مناسبی بهشمار میروند. می توان در بعضی از کاربردها، ترکیبی از رزروهای گرم و رزرو سـردرا بهکار گرفت .در شکل 1، نحوة عملکرد یک سیستم با دو رزرو سرد نمایش داده شده است.
در این سیستم فرض می شود که:
ماجول اولیه و رزروها دقیقاً مشـابهانـد و عملکـردمستقل از زمان دارند.
در ابتدای کار، ماجول اولیه درحـال کـار اسـت ورزروها خاموشاند.
س وئیچ ای دهآل اس ت ب هط وری ک ه درص ورت معیوبشدن ماجول اولیه ،به درستی عمل می کند و یکی از دو رزرو را وارد کار می سازد.
درص ورت معی وبش دن رزروی ک ه ج ایگزین ماجول اصلی شده بـود، سـوئیچ رزرو دوم را وارد
مدار می کند.
با معیوبشدن رزرو دوم، سیستم از کار می افتد.
این ساختار را می توان برای N رزرو گسترش داد که در این صورت، طـراح بایـد بـا درنظرگـرفتن مصـالحه ای بـینقیم ت، ابع اد، وزن ،پیچی دگی در سیس تم و پارامتره ای اتکاپذیری، تعداد بهینة رزروها را مشخص کنـد. رزرو سـردبـه دلیـل داشـتن قابلیـت اطمینـان بـا تر از رزرو گ رم، درص نعت ک اربرد بیش تری دارد. در زی ر ب ه بعض ی از ای نکاربردها اشاره می شود.

شکل 1. ساختار سادة سیستمی با دو رزرو سرد

در مرجع [7] ساختار یک سیستم کمکقلبی که بـرایپشتیبانی بیماران قلبی بهکار می رود ،معرفی شده است. این سیستم دارای چهار بخش اصلی تحریک، موتور، پردازشـگرمرکزی و پمپ هاست که در آن ،پمپ ها را با دو رزرو سرد و پردازشگر مرکزی را با یک رزرو ولرم طراحـی کـرده انـد تـااتکاپذیری سیستم را با ببرند.
در یک شبکة سنسوری بـ ی سـیم، مطـابق بـا آنچـه در مرجع [8] آمده است، از رزرو سرد و گرم برای بهبود قابلیت اطمینان استفاده شده است. یک شبکة سنسـوری را بـه دوبخش ایستگاه مرکزی و تعدادی خوشه تقسیم کرده اند کـهدر آن، برای ایستگاه مرکزی از رزرو گرم و برای سرگروه هر خوش ه، از رزرو س رد درجه ت اف زایش قابلی ت اطمین اناستفاده کرده اند.
از دیگر نمونه های کاربرد رزرو سرد می توان به اسـتفادهاز آن در سیستم کنترل زبانة احتـراق بدنـة موشـک اشـارهکرد که قسمت حلقه های کنترلی آن از رزرو سـرد اسـتفادهم ی کن د] 9[. مث ال دیگ ر، سیس تم ارتباط ات و کنت رلمأموریت های هـوایی اسـت کـه در آن، بـرای جلـوگیری ازتأثیرگذاری خطا بر مدیریت مأموریت، از رزرو گـرم و سـردب ه عن وان پش تیبان اس تفاده ش ده اس ت. از رزرو س رد در قسمت ماجول CPU ، ماجول های حافظه و ماجول مـدیریتسیستم اسـتفاده مـی شـود ] 10 و 11[. همچنـین سـاختارداخلی حافظـه هـایSRAM ، برمبنـای رزرو سـرد طراحـیمی شوند] 12[. در صنایع هوایی نیز برای نمونـه، مـی تـوانبرای افـزایش ایمنـی در فراینـد پـرواز در سیسـتم کنتـرلسکان هواپیما از رزرو سرد استفاده کرد] 13[.
سازماندهی مقاله
ایـن پـژوهش، دو ویژگـی قابلیـت اطمینـان و ایمنـی را ب ااستفاده از مدل مارکوف سیستم ارزیابی میکند. ما قابلیـتاطمینان و ایمنـی سیسـتم رزرو سـرد را بررسـی و فرمـولبسته ای را برای هریک از آن ها ارائه میکنیم. مدل مـارکوفبهدلیل جامعیت و قابلیـت هـای متعـدد آن در مـدل سـاز ی ویژگی های دینامیکی سیستم انتخاب شده است .
در بخش دوم پژوهشهای گذشته مـرور مـی شـوند. دربخش سوم با آوردن یک مثال نمونه، نحوة محاسبة قابلیـتاطمینان و ایمنی، از روی مـدل مـارکوف سیسـتم تشـریحم ی ش ود. در بخ ش چه ارم، قابلی ت اطمین ان و ایمن یسیستم های پشتیبانیشده با رزرو سرد فرمولـه مـیشـوند،رابطه ای کلی برای این دو ویژگی، ارائه و صحت فرمول های ارائه شده اثبات می شـود. بخـش پـنجم اثـر افـزایش تعـدادرزروها، کیفیت سوئیچ، میزان خرابی و احتمال خرابی ایمن بر قابلیت اطمینان و ایمنی را بررسی می کند.
مروری بر کارهای گذشته
مرجع [14] دردسترس پذیری، میانگین زمـان تـا خرابـی وقابلی ت اطمین ان سیس تم بــا دو رزرو س رد را ب ا ف رضثابت بودن میزان خرابـی و پیـروی میـزان تعمیـر از توزیـعار نگ بهدست آورد و نزدیکی نتایج خود با توزیع نرمـال رابررسی کرد. مرجع] 15[ با درنظرگـرفتن سیسـتمی بـا دوج ز غیرمش ابه و رزرو س رد و ب ا ف رض اینک ه تنه ا ی ک تعمیرکار وجود داشته باشد و میزان خرابی و تعمیر از تـابعتوزیع نمایی پیـروی کنـد، بـه محاسـبة قابلیـت اطمینـان،دردسترس پذیری، میانگین زمان تـا اولـین خرابـی، میـزانوقوع خرابی و احتمال تنبلی تعمیرکار پرداخـت. سـپس بـاح ل مس ئلة بهین هس ازی، بهت رین راهب رد تعمی ر ب رای کمینه سازی هزینه ها را بررسـی کـرد. مـدل اتفـاقی شـبکةپتری برای سیستم با افزونگی رزرو سرد به منظـور محاسـب ة اتکاپذیری سیستم در مرجع] 16[ ارائه شده اسـت. در ایـنمقاله ،پارامترهایی نظیر قابلیت اطمینان، دردسترس پذیری ،میانگین زمان خرابی، میانگین زمانی تعمیـر و قابلیـت بقـاارزیابی شده است. مرجع] 17[ با فرض یکسانبودن اجـزایسیستم و ایده آلبودن سوئیچ، فرمولی برای محاسبة هزینـهنسبت به زمان راه اندازی هر جـز در سیسـتم بـا افزونگـیسرد ارائه داده است. مقالة مزبور، با یـک مثـال فوایـد روشخود را اثبات کرده است. مدل مارکوف ایمنی سیستمی، بـادو رزرو سرد در مرجع] 18[ ارائه و ایمنی سیستم ارزیـابیشده است. در پـژوهش فـوق، نقـش رزرو سـرد در سـاختارنرم افزاری و ضرورت افـزایش ایمنـی آن بیـان شـده اسـت.ارزیــابی قابلیــت اطمینــان سیســتم رزرو ســرد از طریــقدرخت های عیب دینـام یکی و بـا اسـتفاده از دیـاگرام هـایسلسله مراتبی تصمیم گیری دودویـی در مرجـع] 19[ آمـ ده است. این پژوهش، ارزیابی قابلیـت اطمینـان بـا اسـتفاده ازروش های فضای حالت یـا شـب یه سـازی را در سیسـتم هـایبدون تعمیر وقت گیر دانست و این روش را راهکـاری بـرایارزیابی سریع تر این سیستم ها اعلام کـرد. مرجـع] 20[ بـهمحاسبة میانگین زمانی سیسـتم k-out-of-N بـا یـک رزروسرد و فرض اینکـه میـزان خرابـی از تـابع توزیـع پواسـونپیروی کند، پرداخت و نتایج عددی خود را با نتایج عـددیحاصل از فرض پیروی میزان خرابی از توزیع ویبال مقایسـهکرد. مرجع] 21[ از طریق شبکة پتـری، مـدلی متفـاوت ازرزرو سرد ارائه کرد و به بیان کاربردهـا ی سیسـتم هـایی بـاافزونگــی رزرو ســرد در شــبکه هــای کــامپیوتری تجــاریپرداخت .مرجع ]22[ به ارائة یک رابطة تخمینی مبتنـ ی بـرتئــوری حــد مرکــز ی بــرای ارزیــابی قابلیــت اطمینــان سیستم های حمایت شده با رزرو سـرد پرداخـت. از مزایـای رابطة پیشنهادی می توان به امکان ارزیابی سیستم هـایی بـاتابع توزیع غیرنمـایی اشـاره کـر د. در رابطـ ة مقالـ ة حاضـر ، احتمال عملکرد سوئیچ لحا شـده اسـت. رابطـه تخم ینـی نیست، به صورت تحلیلی بهدست می آید و ضعف آن نسـبت به مقالة مذکور این اسـت کـه در آن، تـابع توز یـع خرابـ ی، نمایی فرض شده است. مرجـع ]23[ بـا تأک یـد بـر مسـئلة تخصیص افزونگی و قابلیت اطمینان، به ارائة راهکاری نوین برای بهینه سازی این مسـئله پرداختـه اسـت. ایـن مرجـع ، روابط خود را از نظریة احتما ت بـه دسـت آورد کـه در آن، روابط و احتمال عملکرد سوئیچ لحا نشده است و علاوهبـرآن، رواب ط دیفرانس یلی هس تند. ای ن درح الی اس ت ک ه پژوهش حاضر، احتمال عملکرد سوئیچ را درنظر میگیـرد و روابطی ساده و جبری را ارائه می کند. مرجع] 24[ فرمـولیپارامتریــک و جــامع بــرای ارزیــابی قابلیــت اطمینــان ودردسترس پذیری رزرو سرد ارائـه کـرد. مرجـع] 25[ بـراینخستینبار مدل شبه مارکوف گیـت رزرو سـرد در درخـتعیب دینامیکی را ارائه کرد و گیت های دینامیکی جدیـدیبرای ارزیابی قابلیت اطمینان سیستم هایی بـا پیکـره بنـدیمجدد و رزرو سرد در درخت عیب دینامیکی مطرح ساخت .
مرجع] 26[ روشی سیستماتیک برای رسـم مـدل مـارکوفسیستم هایی با قابلیت پیکـره بنـدی مجـدد و حمایـت رزروسرد ارائه داد .مرجع ]27[ بـا هـدف کم ینـه سـازی هزینـة سیستم هـایout-of-N -1 بـا حما یـت رزرو سـرد و گـرم رابررسی کرد. این پژوهش، تخمین گسسته ای از تـابع توز یـع زمان تا خرابی9 را فرموله ساخت و با اسـتفاده از روش هـا ی عددی، به بهینه سازی هزینـه و قابلیـت اطمینـان در کنـاریکدیگر پرداخت. پژوهش حاضر، موضوع هزینه و رزرو گـرمرا درنظر نمی گیرد و رابطه ای که ارائه مـ ی دهـد ، تحلیلـی و دقیق است. بررسی مراجع فوق نشان می دهـد کـه تـاکنون رابطه ای جامع و تحلیلی برای ارزیابی ایمنـی سیسـتم هـایحمایت شده با رزرو ارائه نشده است.
ارزیابی قابلیت اطمینان و ایمنی از روی مدل مارکوف در این پـژوهش، قابلیـت اطمینـان و ایمنـی سیسـتم رزروسرد، از روی مدل مـارکوف سیسـتم محاسـبه مـی شـود. ازمی ان روش ه ای موج ود ب رای ارزی ابی قابلی ت اطمین ان سیستم ها نظیر بلـوک دیـاگرام قابلیـت اطمینـان، درخـتعیب ،مونت کارلو و مارکوف، مدل مـارکوف بـه ایـن جهـتانتخاب شده اسـت کـه روشـی تحلیلـی اسـت و از قابلیـتمـدل س ازی ب ا نظی ر لح ا ک ردن پیک ره بن دی مج دد ،وابستگی عملیاتی، ترتیب و توالی و اولویت برخوردار اسـت.بهعلاوه، نظریة مـارکوف امکـان درنظرگـرفتن انـواع توزیـعآماری را بـر ای میـزان خرابـی و میـزان تعمیـر سیسـتم درمحاسبهها فراهم می کند. در این بخش، برای یـک سیسـتمپشتیبانیشده با دو رزرو سرد، با رسم مدل مارکوف، قابلیت اطمینان و ایمنـی محاسـبه مـی شـود تـا در بخـش بعـدیپژوهش بتوان آن ها را به درستی با N رزرو تعمیم داد.
ارزیابی قابلیت اطمینان سیستم با رزرو سرد با استفاده از مدل مارکوف
بــه منظــور ســهولت ارزیــابی قابلیــت اطمینــان سیســتمحمایت شده با رزرو سـرد از روی مـدل مـارکوف آن، فـرضمی شود که سوئیچ ایده آل باشد.
ساخت مدل مارکوف قابلیت اطمینان
شکل 2 بیانگر مدل مارکوف قابلیت اطمینان یک سیستم با دو رزرو سرد است. در رسم این مدل، فرض شده اسـت کـهمیزان خرابی ماجول ها از تابع توزیع نمایی تبعیت می کنـد.
از این رو، می توان احتمال گذر حالتها را- که بـا معادلـة 1 در زیر بیان می شود- با توجه به کوچکبـودن و t بـا معادلة 2 تقریب زد.
P  1 et )1( P   t )2(

شکل 2. مدل مارکوف قابلیت اطمینان سیستم با دو رزرو سرد

مدل دارای چهار حالت اسـت حالـتP )تنهـا مـاجولاولیه کار می کنـد و رزروهـا درحالـت انتظارنـد(، حالـت 1S )ماجول اولیه معیوب شده و رزرو اول وارد مدار شده است( ،حالت 2S )رزرو اول معیوب شده و رزرو دوم وارد مدار شـدهاست( و حالت F )سیستم از کار افتاده است(. در این مـدلفرض می شود که سیستم از حالت P شروع بهکار کنـد و بـاوقوع عیب در مـاجولP و تشـخیص درسـت آن سیسـتم،روی رزرو اول سوئیچ می کند. بـا وقـوع عیـب در رزرو اول،سیستم به حالت 2S سوئیچ می کند و با وقوع عیبی دیگر در این رزرو، سیستم به طورکامل از کار می افتد.
حل مسئلة قابلیت اطمینان
از روی مدل مارکوف شکل 2، ماتریس گذر حالـت پیوسـتهرابطة 3 حاصل میشود. با فـرض شـرایط اولیـه بـه صـورت رابطة 4 و استفاده از رابطة 5، احتمال هر حالت بـه صـورت روابط 6 تا 8 به دست میآیـ د و قابلیـت اطمینـان سیسـتم،مطابق رابطة 9 محاسبه می شود.

0 0 0 0 
0 0 0 0 
A 0 00 )3(
   0

0 0 0 0 
PP 01,Ps2 0 0,Ps1 0 0,PF 0 0 )4(
(sI  A) P s( )  P(0) )5(
1t
P sp ( ) 

 P tp ( )  e )6(
s 
t
PS1 ( )s 

2  PS1 ( )t te )7(
(s )
22 2tt
PS2 ( )s 

3  PS2 ( )t 

e )8(
(s )!2
185326968866

RP P P(1t)e
CS2  pS1S2    2 2tt )9(
!2
ساخت مدل مارکوف ایمنی
شکل 3 مدل مـارکوف ایمنـی سیسـتم بـا دو رزرو سـرد رانشان می دهد. در این مدل، سـه حالـت کـاری و دو حالـتخرابی برای سیستم درنظر گرفته می شود که این دو حالت ،شامل حالت خرابی ایمـن و خرابـی غیـرایمن اسـت. از هـرحالت کاری ،به جز حالت آخر با احتمال cd مـدار تشـخیصعیب و سوئیچ عمل میکند و به حالت بعدی گذر می کنـد.درصورتی که مدار سوئیچ درست عمل نکند، با احتمال -c(1(cd به حالت خرابی ایمن و با احتمال (c)(1-cd-1) به حالت خرابی غیرایمن مـی رود. در حالـت آخـر، احتمـال عملکـردسوئیچ بی تأثیر است و حذف می شود.

شکل 3. مدل مارکوف ایمنی سیستم با دو رزرو سرد
حل مسئلة ایمنی
با توجه به مدل مارکوف در شکل 3، ابتدا مفروضات رابطـة10 درنظر گرفته مـی شـود و سـپس مـاتریس هـای انتقـالحالت ،به صورت رابطة 11 نوشته می شود. با فـرض شـرایطاولیه به صورت رابطة 12 و حل معادلهها می توان احتمال هر حالت را به صورت روابط 13 تـا 16 بیـان کـرد. از روی ایـنروابط، ایمنی سیستم با دو رزرو به صـورت رابطـة 18 قابـل محاسبه است.

c 1cd  tf , 1 c1cd  tg )10(
 cd 0 f g

 0  cd f g
133770-79114

P   00  c1c
 )11(
 00000

 00000 

 PP 01,Ps2 0 0,Ps1 0 0,
PFS 0 0,PFU 0 0 )12(
1
PP 

et
s  )13(
b
PS1 

2 cdtet
s  )14(
384716164797

Ps2 3  d2!2 2t et b2c2
s  )15(
PFS c ccd 1et 
cd ccd21te t e t  )16(
ccd21

2!2 2tet te t e t 
 s t   PP PS1 PS2 PFS )17(
c 2 2 2t s t   c 1 c

d  cdt 1et
2! )18(

فرمولااهکااردن قابلیاات اطمینااان و ایمناایسیستم های دارای رزرو سرد
این بخش، روابطی جامع برای ارزیـابی قابلیـت اطمینـان وایمنی سیستم هـای حمایـت شـده بـاN رزرو سـرد را ارائـهمی دهد.
قابلیت اطمینان سیساتم بااN رزرو سارد بااسوئیچ ایدهآل
یکی از موارد بررسی اتکاپذیری یک سیستم، ارزیابی قابلیت اطمینان آن است. در این بخش، فرمولی بسته برای ارزیابی قابلیت اطمینان یک سیستم با N رزرو سرد ارائه مـی شـود.شایان ذکر است که در پژوهشهای پیشـین، بـرای قابلیـتاطمینان یک سیستم با تعـداد محـدود رزرو سـرد )تـا سـهرزرو( روابطی ارائه شده است] 1[، اما برای حالتی که تعداد رزروهــا N فــرض شــده و وضــعیت ســوئیچ )ایــده آل یــا غیرایده آلبودن( نیز لحا شده باشد، رابطه ای برای قابلیـتاطمینان وجود ندارد شاید بهایندلیل که در صنعت، عموماً تع داد رزروه ا ب هن درت از دو اف زایش م ی یاب د. شـکل 4 نشان دهنـد ة یـک سیسـتم رزرو سـرد بـا N رزرو و سـوئیچایده آل است. روابط 19، 20 و 21، بهترتیب برای سیستم با یک، دو و سه رزرو سرد بهدست می آید.

شکل 1. مدل مارکوف قابلیت اطمینان سیستم رزرو سرد

RCS 1( ) (1t  t e) t )19(
2 2tt
RCS2  (1 t

)e )20(
!2
 2 2t3 3tt
114813262405

RCS2  (1 t )e )21(
!2!3
با ارزیابی سه معادلـ ة بـا ، رابطـة بسـت ة 22 بـه دسـت می آید که در آن ،S بیانگر تعداد کل رزروهاست. این رابطه ،با فرض ایدهآلبودن سوئیچ به دسـت آمـده اسـت. بـا فـرضاینکه cd احتمال خرابی سوئیچ باشد، رابطـة 22 بـه صـورت رابطة کلی تر 23 بازنویسی می شود.

nn
S t
RCS S  (

)et n0 n! )22(
nn n
843125100332

CS S S cdt )et
R  ( )23(
n0n!
اثبات صحت رابطة قابلیت اطمینان
ب رای اثب ات درس تی رابط ة 22 از اص ل اس تقرا اس تفاده می کنیم. از بحث با پیداست که افـزودن رزروj ام، جملـة!jt j / j را به قابلیت اطمینان سیستم اضـافه مـی کنـد.رابطة 24 برای یک رزرو به صورت زیر است که درسـتی آنبراساس منابع و مراجع موجود ،ثابت شده است] 6[.
0 0t RCS 1( )t 

e t
!0 )24(
t tt

e  (1 t e) 
!1
حال فرض می کنیم رابطة 24 برای تعداد k رزرو درست باشد. باید اثبات کنیم که ایـن رابطـه بـرایk+1 رزرو نیـزدرست است. برای k رزرو رابطة 25 نوشته می شود.
RCS k ( )t i k0 

iit!i et )25(
افــــزودن رزرو k+1 ام معــــادل افــــزودن جملــــة1(!k1t k1 / (k  ب ه عب ارت RCS k ( )t اس ت
بنابراین، رابطة 26 قابلارائه است:
شکل 5. مدل مارکوف ایمنی سیستم با یک رزرو سرد
S( )t et cdt 1 1 cc )28(
73646295557

 cd2 2 22!tcdt 1 1 cc
S( )t e t 
 )29(
c3 3 32 2 2
68093766416

S( )t et  d3!t cd2!t cdt 1 1 cc
 )30(

S( )t   S

cdn!t n 1c e t c
 )31(
 n0
k 1t k 1
حاصل طرف راست رابطة اخیر، با استفاده از رابطـة 25 برابر است با رابطة 27 که در زیر آمده است:
RCS  (k 1)( )t 
i k0 

iit!i et 

(kk 1t1)!k 1 et )27(
ki 01

iit!i et
در رابطة 27، با تغییر متغیر 1k   k  رابطة



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید