نشریه تخصصی مهندسی صنایع، دوره 49، شماره 2، پاییز و زمستان 1394، از صفحه 139 تا 148
مدل جدید تحلیل پوششی داده ها برای تعیین کاراترین واحد تصمیم گیری با درنظرگرفتن داده های غیردقیق
بهلول ابراهیمی1، مرتضی رحمانی2*‌، مرتضی خاکزار بفروئی3 ‌
دانشجوی دکتری مهندسی صنایع پژوهشکدة توسعة تکنولوژی جهاد دانشگاهی شریف
دانشیار گروه پژوهشی مهندسی صنایع پژوهشکدة توسعة تکنولوژی جهاد دانشگاهی شریف و دانشیار دانشکدة علوم پایه، دانشگاه علم و فرهنگ
استادیار گروه پژوهشی مهندسی صنایع پژوهشکدة توسعة تکنولوژی جهاد دانشگاهی شریف

)تاریخ دریافت 12/8/92 ـ تاریخ دریافت روایت اصلاح شده 29/1/94 ـ تاریخ تصویب 18/3/94( چکیده
سهرابی و نالچیگر )1389(، مدل نوین تحلیل پوششی داده ها را برای شناسایی کاراترین واحد تصمیم گیری (DMU) با داده های غیردقیق ارائـه کردند. در این مقاله نشان داده میشود مدل ارائه شده لزوماً قادر به تعیین کاراترین DMU نیست و این مدل به طورتصادفی یکی از DMUهـایکارا را، کاراترین معرفی میکند. همچنین ممکن است مدل ارائه شده برای تعیین کاراترین DMU در حالت بازده به مقیـ اس متغیـ ر غیـ رممکن باشد. برای غلبه بر این مشکلات، مدل های ترکیبی جدیدی ارائه می شود. علاوهبراین، برای تعیین و رتبه بندی سایر DMU های کارا، الگوریتمی پیشنهاد می شود. با به کارگیری مدل ارائهشده در این پژوهش، فرد تصمیم گیرنده می تواند کاراترین DMU را فقط با حل یک مدل برنامه ریـ زی خطی عدد صحیح پیدا کند. کاربرد مدل پیشنهادی با درنظرگرفتن داده های غیردقیق هجده تأمین کننده نشان داده می شود.

واژه‌های‌کلیدی: انتخاب تأمین کننده، برنامه ریزی خطی عدد صحیح، تحلیـ ل پوششـ ی داده هـا (DEA)، داده هـا ی
غیردقیق، کاراترین DMU.

مقدمه
چــارنز، کــوپر و رودز [1] در ســال 1978، روش تحلیــل پوششی داده ها (DEA)1 را برای محاسبة کارایی واحـدها ی تصمیم گیـ ری2 مشـابه بـا چنـد ین ورودی و خروجـ ی ارائـه کردند که به مدل CCR معروف شده است. پس از آن بنکر، چارنز و کوپر [2] در سال 1984 مدل BCC را ارائه دادنـد .
این روش ها اساس روش های غیرپـارامتر ی شـدند و تحلیـ ل پوششی داده ها نامیده شدند. این مدل ها به سـرعت توسـعه یافتهاند و تاکنون مقاله هـای بسـ یار زیـ ادی در ایـ ن زمینـه به چاپ رسیده اند که هـدف عمـدة آن هـا محاسـبة کـارایی نسبی3 DMU ها با ورودی ها و خروجی های چندگانه است.
شایان ذکر است مدل CCR حالت بازده به مقیاس ثابـت4 و مدل BCC حالت بازده به مقیاس متغیر5 است.
در بسیاری از کاربردهای عملـی روش DEA، از جملـه مسئلة ارزیابی و انتخاب تأمینکنندگان6 در زنجیرة تـأم ین،
* نویسندة مسئول:

باید «کاراترین DMU»7 مشخص شود. در این زمینه، مـدل DEA قدرت تفکیک پذیری کافی نـدارد یعنـ ی در ارزیـ ابی DMU ها بـا ایـ ن مـدل ، تعـداد زیـ ادی از DMU هـا کـارا شناخته می شوند. این حالت مخصوصاً زمانی رخ می دهد که تعداد DMU ها در مقایسه با تعداد کل معیارهـا ی ارزیـ ابی )ورودی ها و خروجی ها( کافی نباشد. بـرا ی افـزا یش قـدرت تفکیک پذیری مـدل DEA، بـه منظـور تشـخ یص کـاراتر ین DMU، روش های مختلفی ارائه شده اسـت . از جملـه مهـم ترین این روش ها می توان به روش Super Efficiency [3]، Cross-Efficiency [4] و اعمال محـدو یت هـا ی وزنـ ی [5] اشاره کرد. به تازگی مـدل هـا ی ترکیبـ ی نیـ ز بـرا ی تعیـی ن کاراترین DMU ارائه شده است که در اینجا مهم ترین آن ها را توضیح می دهیم.
امین و طلوع [6]، مدل ترکیبی را برای افزایش قـدرت
تفکیک پذیری روش DEA ارائه کردند. آن ها ادعا کردند این Email: [email protected]
مدل کاراترین DMU را فقط با حل یک برنامه ریزی خطـ ی عدد صحیح پیدا می کند. شایان ذکـر اسـت در مـدل اولیـ ة DEA برای به دستآوردن کاراترین DMU، باید حـداقل بـه تعداد DMU ها مدل برنامه ریزی خطی نوشته و حل شـود . همچنین مدل اولیة DEA در اکثر مواقـع قـادر بـه تعیـین کاراترین DMU نیست. امین [7] نشان داد مدل ارائـه شـده در [6] لزوماً قادر به تعیین کاراترین DMU نیست و ممکن است چند DMU را کارا مشخص کنـد . درادامـه ، وی بـرا ی تعیین کاراترین DMU یـ ک برنامـه ریـ زی غیرخطـ ی8 ارائـه کرد. طلوع و نالچیگر [8] مدل ارائه شده در [6] را به حالـت بازده به مقیاس متغیر (BCC) گسترش دادنـد . فروغـ ی [9] نشان داد مدل ارائهشده در [7] ممکن است گـاهی نشـدنی باشد. وی برای رفع این مشـکل و تعیـی ن کـاراتر ین DMU یک برنامه ریزی خطی عدد صحیح ارائه کرد. طلوع [10] بـا بیان برخی از مشکلات مـدل [8]، یـ ک مـدل برنامـه ریـ زی خطی عدد صحیح برای تعیـی ن کـاراتر ین DMU در حالـت بازده به مقیاس متغیر ارائه داد. وانگ و جیانگ [11] نشـان دادند بسیاری از محدودیت های مدل ارائهشده در [9] زائد9 هستند. همچنین آن ها ادعا کردنـد ایـ ن مـدل از داده هـا ی نویز10 تأثیر می گیرد بنابراین، ممکن است کاراترین DMU را درست تعیین نکند. درادامه، آن ها سه مدل مختلف برای تعیین کاراترین DMU در حالت های بازده به مقیاس ثابت، بازده به مقیاس افزایشی و بازده بـه مقیـ اس کاهشـ ی ارائـه کردند. فروغی [12] با بیان برخـ ی از مشـکلات مـدل هـا ی قبلی، در مرحلة اول، الگوریتمی بـرا ی تعیـی ن تمـام DMU های کارا در مدل [6] ارائه کرد همچنـ ین در مرحلـة دوم، برای تعیـی ن کـاراتر ین DMU از بـ ین DMU هـا ی کـارا ی مشخصشده در مرحلة اول، یک مـدل برنامـه ریـ زی خطـ ی عدد صحیح ارائه کرد.
بنابر فرض مدل DEA، مقادیر ورودی هـا و خروجـ ی هـا باید دقیق معلوم باشند، اما در دنیای واقعی مقادیر داده های ورودی و خروجی واحـدها ی ارزیـ ابی بـرا ی همیشـه دقیـ ق نیســتند و در مـ وارد بســ یاری ماننـ د مســئلة انتخـ اب تأمین کننده، نمی تـوان یم مقـاد یر واقعـ ی و دقیـ ق داده هـا را اندازه گیری کنیم. بـه عبـارت دیگـر ، ممکـن اسـت چنـد ینگزینه به عنوان مقدار اصلی بـرا ی یـ ک داده درنظـر گرفتـه شود یا ممکن است معیارهای کیفـ ی بـرا ی داده هـا ی یـ کمسئله مطرح شود. بر ایـ ن اسـاس ، کـوپر و همکـاران [13] اولین بار اصطلاح داده های غیردقیق11 را مطرح کردنـد کـه شامل داده های بازه ای12 و داده های ترتیبی ضـع یف13 بـود.
مدل DEA حاصل، DEA نادقیق یا IDEA14 نامیده شد.
به تازگی سهرابی و نالچیگر [14] مدل هایی برای تعیین کاراترین DMU با درنظرگـرفتن داده هـا ی غیردقیـ ق بـرا ی حالت های بازده به مقیاس ثابت و متغیر ارائـه کـرده انـد . در این پژوهش، مشکلات این مدل ها مطرح و برای رفـع آن هـا مدل های جدیدی ارائه می شود.
ش ایان ذک ر اس ت روش DEA در زمین ه ه ای عمل ی متفاوت به کار رفته اسـت . محبعلـی زاده و فـائز [15] مـدلی چندهدف ه ب ا اس تفاده از DEA بـرای ارزی ابی و انتخـاب تأمین کننـدگان در زنجیـ رة تـأم ین ارائـه کردنـد . قـادر ی و همکاران [16] عملکرد منابع انسانی را با اسـتفاده از DEA ارزیابی کردند. آن ها برای درنظرگرفتن معیارهـا ی کیفـ ی از DEA فازی بهـره جسـتند. اجلـ ی و صـفر ی [17] از DEA برای ارزیابی عملکرد 23 شرکت گاز استانی استفاده کردند.
آن ها برای افزایش قدرت تفکیک پـذ یری مـدل DEA، یـ ک مدل ترکیبی با استفاده از شبکة عصبی ارائه کردند. نجفی و منصوری [18] ، از روش DEA برای تعیـی ن سـهام برتـر در بین 22 گروه صنعت موجود در بـورس اوراق بهـادار تهـران استفاده کردند. رضائیان و عسگرینژاد [19] روش DEA را برای ارزیـ ابی عملکـرد شـرکت هـا ی آب و فاضـلاب اسـتان مازندران به کار بردند و برای تفکیک بین واحـدها ی کـارا از شبکة عصبی استفاده کردند.
در بخــش بعــدی، مــدل هــای ســهرابی و نــالچیگر و مشکلات آن ها بیان می شود. درادامـه ، مـدل هـا ی جدیـ دی برای غلبه بر این مشکلات ارائه می شود. مثال های عـدد ی و نتیجه گیری را در بخش های بعدی مشاهده می کنیم.
مشکلات مدل سهرابی و نالچیگر
در سال 1389، سهرابی و نـالچ یگر [14] مـدل ی ترکیبـ ی را برای تعیین کاراترین واحد تصمیم گیری (DMU) به صـورت زیر ارائه کردند.
)1(
M*  Min M st. . M  d j 0; j 1,…,k
n
v xiij 1;j 1,…,k
i1
mn
u yrrj v xiij   d j j0; j 1,…,k
r1i1
k
d j  k1
j1
0  j1,d j {0,1};j 1,…,k
(xij )i;(yrj )r
u vr , i ; r i,
که در آن (u u u( 1 2,,…,um و (v v v( 1 2,,…,vn به ترتیب وزن )اهمیت( ورودی ها و خروج یهاست.  عددی مثبت و کوچک غیرارشمیدسی15 اسـت . dمتغیـ ر انحرافـ ی واحد -j ام و M مـاکز یمم مقـدار ناکـارا یی اسـت کـه بایـ د مینیمم شود. j به دلیل گسسـتهبـودن dj درنظـر گرفتـه شده است. xij i() و yrj)r) همـه یـ ا بخشـ ی از داده های غیردقی ـق بـه شـکل رابط ـه هـای 2 تـا 4 هسـتند . اصطلاح داده های غیردقیق حالت هایی را نشان می دهد کـه در آن داده ها در بازه ای با کران های مشخص قرار دارنـد یـ ا نسبت به هم اولویت ویژه ای دارند. برای مطالعـ ة بیشـتر در این زمینه می توان به [20] مراجعه کرد.
داده های کراندار یا بازهای16
xij  xij xij (iBI) y  yrj yrj (iBO) )2(
rj

کــهکران در هـایآن ijبـاx و yrj

هسـتند و BI کــران و هــایBO پــابـه ییترتن یـو بx ij و yrj ودربردارنـدة داده های کراندار برای ورودی ها و خروجی ها هستند. مقادیر کران های با و پایین در داده های کراندار معلـوم و نـا منفی هستند و مقادیر اصلی ورودی ها و خروجی ها نـامعلوم انـد و در این کران قرار دارند.
داده های ترتیبی ضعیف
xi1   xi2 … xin (iDI) yr1  yr2  … yrn (iDO) )3(

که در آن DI و DO به ترتیب دربردارندة داده هـا ی ترتیبـ ی
ضعیف برای ورودی ها و خروجی ها هسـتند . در ایـ ن نـو ع ازداده های نادقیق، فقـط اولویـ ت ویـژه ای بـ ین ورودی هـا یـ اخروجی ها برقرار است و مقدار واقعی داده ها معلوم نیست.
داده های کسری کراندار17
xij
Gij 

Hij
xio
yrj )4(
Lrj 

Urj
yroکه در آن Hij و Urj کـران هـا ی بـا و Gij و Lrj کـران هـا ی پایین هستند. مقادیر کران هـا ی بـا و پـا یین در داده هـا ی کسری کراندار معلوم و نامنفی هستند و نسبت دو خروجـ ی یا نسبت دو ورودی نامعلوم اسـت و بـ ین کـران هـا ی بـا و پایین قرار دارند.
ب هوض وح م دل 1 غیرخط ی18 و غیرمح دب19 اس ت.
سهرابی و نالچیگر با استفاده از تغییر متغیر پیشنهادشده در [20]، )رابطة 5( این مدل را به صـورت زیـ ر بـه یـ ک مـدل برنامهریزی خطی عدد صحیح )مدل 6( تبدیل کردند.
Xij v xiij i j,
Yrj u yrrj r j, )5(
M*  MinM
st. .
M  d j0j 1,…,k
n
Xij 1j 1,…,k
i1
mn
 Yrj Xij   d j j0,j 1,…,k
rk1i1 )6(
d j  k1
j1
0 j 1;d j {0,1}j 1,…,k
~~**
Xij  Di ; Yrj  Dr ;Xij  ;Yrj   , i j r, ,
که در آن D~i و D~r به ترتیب تبدیلشده i و r تحت تغییر متغیر) 5( هستند. طبق این تغییر متغیر برای داده های غیردقیق و دقیق داریم:
داده های بازه ای یا کراندار:
و vi xij  Xij vi xij u yr rj  Yrj ur yrj

داده های ترتیبی:
Yrj Yrk , jk و Xij  Xik , jk
برای بعضی از مقادیر i و r
داده های کسری کراندار:
452721178517

357828378696

Gij  Xij Hij و Lrj  Yrj U rj , j  jo –
XijoYrjo
 داده های دقیق:
yˆrj و xˆij که در آن ،Yrj u yr ˆrj و Xij v xi ˆij .داده های دقیق اند

آن ها برای تعیین ماکزیمم مقدار * مدل برنامه ریـزی
خطی زیر را ارائه کردند:
)7(
*  max 
st. .
n
Xij 1;j 1,…,k
i1
mn
r 1Yrj i1 Xij  0; j 1,…,k
~~
Xij Di ;Yrj Dr; i j r, ,
Xij   0; Yrj   0, i j r, ,
*

شایان ذکر است به کارگیری ماکزیمم مقدار موجب افزایش قدرت تفکیک پذیری مـدل DEA در تعیـی ن DMU های کارا می شود.
سهرابی و نـالچ یگر ادعـا کردنـد بـا حـل مـدل 6، فـرد تصمیم گیرنده می تواند کـاراتر ین DMU را شناسـا یی کنـد . به عبارت دیگر، آن ها ادعا کردند در جواب بهینة ایـ ن مـدل ، DMUp کاراترین واحد kاسـت ، اگـر 0d*p . بـا توجـه بـه صفر و یـ محدودیت ک201j1d j  k و اینکه d jها متغیرهایی از نوع هسـتند در جـ واب بهینـه فقـط بـرای یـ ک داریم:
d*p  0p{1,2,…, k}
جواب بهینة مدل )6( همواره برابر یـ ک اسـت 1(M* )، زیرا در جواب بهینة مقادیر تمامی dj ها برابـر یـ ک اسـت و فقط مقدار یکی از آنها برابر صفر است. به عبارت دیگر، هر جواب شدنی این مدل یک جواب بهینه است. درنتیجه، این مدل بهطور تصادفی یکی از جوابهای شـدن ی را بـهعنـوان جـواب بهینـه انتخـاب مـ یکن د. درصـورت یکـه ایـ ن م دلجواب های شدنی مختلفی با مقـاد یر مختلـف dj هـا داشـته باشد، با توجه به نوع نرم افزاری که مدل با آن حل می شود، جواب های بهینة مختلفی به دست می آید و بـه تبـع آن ایـ ن مدل DMU هـا ی مختلفـ ی را کـاراتر ین معرفـ ی مـ ی کنـد .
ش ایان ذک ر اس ت ک ه در روش تحلی ل پوشش ی دادهه ا،
DMUp یک واحد کاراست اگر و تنها اگـر وزنهـا ی مثبـت
(u u u( 1 2, ,…,um و (v v v( 1 2, ,…,vn طـــــــوری موجود باشد که به ازای این وزنها، کارایی DMUp از کارایی
بقیه واحدهای تصمیمگیری بیشتر () باشد. با توجـه بـه محدودیت های نوع سوم مدل 6 مشخص اسـت کـه میـ زان
انحراف از کارایی DMUj برابر است با d j j. سهرابی و نالچیگر به اشتباه متغیـ ر از نـوع صـفر و یـک d j را م یـزان انحراف از کارایی DMUj فرض کردهاند.
همچنین ممکن است با حل این مدل چند واحـد کـارا به دست آید برای مثال، فرض کنیـ د در جـواب بهینـة ایـ ن
مدل داشته باشیم: 1d*j  *j 0&d*p  *p که در آن j p, {1,2,…,k}& j  p، در ایــ نصــورت واضــح است مـدل 6 ، هـ م DMUj و هـم DMUp را کـارا معرفـ ی مــی کنــد و نمــی توانــد کــاراترین DMU را تعیــین کنــد. درص ورتیک ه در ج واب بهین ة ای ن م دل داش ته باش یم 0d*p 0&*p ، امتیاز کـارایی DMUp بیشـتر از یـ ک است و امتیاز کارایی بقیة واحدها حداکثر برابر یـ ک اسـت بنابراین، به وضوح DMUp یـ ک واحـد کاراسـت . بـهعبـارت دیگر، ایـ ن واحـد سـوپر کـارا 21 اسـت . بـا توجـه بـه مـوارد بیان شده، در حالت کلی مدل 6 نمی توانـد کـاراتر ین واحـد تصمیم گیری را تعیین کند.
مدل 6 حالت بازده به مقیـ اس ثابـت اسـت . سـهرابی و نالچیگر برای تعیـی ن کـاراتر ین DMU در حالـت بـازده بـه مقیاس متغیر مدل زیر را پیشنهاد کردند:

)8(
M *  MinM
st. .
M  d j0j 1,…,k
n
i1 X ij 1j 1,…,k
mn
Yrj  u0  X ij   d j j0, j 1,…,k
r1i1
k
d j  k1
j1
0 j 1;d j {0,1}j 1,…,k
~~**
X ij Di ; Yrj Dr ; X ij  ;Yrj  ,i j r, ,
متغیر آزاد در علامت 0u موجـب مـ ی شـود ایـ ن مـدل ساختار بازده به مقیاس متغیر داشته باشد. ماکزیمم مقـدار
* مشابه مدل 7 از حل مدل زیر به دست م یآید:
)9(
*  max 
st. .
n
Xij 1;j 1,…,k
im1n
 Yrj  Xij  u00; j 1,…,k
r1~i1~
Xij Di ;Yrj Dr i j r, ,
Xij   0; Yrj    0,i j r, ,
واضح است مدل 8 نیز مشکلات مدل 6 را دارد. علاوه بر این مشکلات، در بخش 4 نشـان داده مـ ی شـود ایـ ن مـدل ممکن است نشدنی22 هم باشد. در بخش بعدی مـدل هـا یی برای رفع مشکلات ذکر شده در این بخش ارائه م یشود.
مدل های پیشنهادی این پژوهش
مهم ترین ایراد مدل های ارائه شده توسط سهرابی و نـال چیگر این است که متغیر از نوع صفر و یـ ک dj بـه عنـوان میـ زان انحراف از کارایی درنظر گرفته شده است. همـان طورکـه در بخش قبل توضـیح داده شـد ، d j j میـ زان انحـراف از کارایی DMUj است بنابراین، برای تعیین کـاراتر ین DMU با دادههای غیردقیق مدل زیر پیشنهاد می شود.

)10(
M*  MaxM
st. .
M jj 1,…,k
n
 Xij 1j 1,…,k
i1
mn
 Yrj  Xij   d j j0,j 1,…,k
r1i1
k
d j  k1
j1
0  j1;d j {0,1}j 1,…,k
~~**
Xij Di ; Yrj Dr ; Xij  ; Yrj   , i j r, ,

ماکزیمم مقدار * از حل مدل 7 به دست مـی آیـد . بـا توجه به اینکه d j j میزان انحراف از کارایی است، ایـ ن مدل حداکثر مقدار ناکارایی DMU ها را مینیمم مـ یکنـد .
واضح است مینیمم کردن حداکثر مقادیر d j jها معادل حداکثرکردن حداقل j ها است. در جواب بهینة این مدل فقط بـرای یـ ک {p{1,2,…, k داریـ م 0d*p  و بـرای بقیة DMU ها داریم d*j   1, j p بنابراین، بـا توجـه به محدودیت های این مدل داریم:
mn
 Yrp*  Xip* 0
r1i1 یا
mm
Yrp* u yr* rp
18351273485

rn1 rn11
X ip* v xi* ip
1i1iو برای بقیة واحدها داریم:

d*j 1&0    *j1, jp  d*j  *j0
m m*n*r1u yr* rj
  Yrj  X ij  0

n  1, jp
r1i1v xi* ij
i1
که نشان م یدهد DMUp کاراترین واحد تصمیم گیری است که با حل این مدل بهدست می آید.
برای تعیین و رتبه بندی سایر واحدهای کارا که با مـدل 10 به دست می آید، الگوریتم زیر پیشنهاد می شود:
مرحلة‌صفرر:‌ قـرار ده یـد: DMUp ،T { }p کـاراتر ین واحد تصمیم گیری است که با حل مدل 10 به دست آمده است.
مرحلففة‌نخسفف: مــدل 10 را بــا اضــافه کــردن محدودیت های جدید d j   1,jT حل کنیـ د، فـرض کنید در جواب بهینه داشته باشیم: 0dl*  .
مرحلة‌دوم: قرار دهید: T  T{ }l .
مرحلففة‌سففوم: اگــر مــدل 10 بــا اضــافه کــردن
محدودیت های جدیـ د d j   1,jT شـدن ی اسـت بـه مرحلة 1 برویـ د. در غیـ راینصـورت T مجموعـه واحـدها ی کاراست که با حل مدل 10 به دست می آید.
در مرحلة اول این الگوریتم دومین واحد کارا بـه دسـت می آید )درصورتیکه چنین واحدی موجـود باشـد (. در هـر مرحله از الگوریتم واحد کارایی که در تکرار قبلی بـه دسـت آمده است کنار گذاشـته مـ ی شـود تـا واحـد کـارا ی دیگـر به دست آید. درحقیقت، واحدهای تصمیم گیری با توجه بـه مقدار *M رتب هبندی م یشوند.
با توجه به اینکه میزان ناکارایی مطابق مدل ارائـه شـده
)مدل 10(، برابر d j j اسـت ، بـرا ی مقـدار بیشـتر M مقدار j نیز بیشتر است و درنتیجه مقدار d j j کمتر خواهد بود. درنتیجه، واحدی که در اولـ ین تکـرار الگـور یتم به دست می آید دارای دومین رتبه و واحدی کـه در آخـرین تکرار الگوریتم به دست م یآید دارای پایین ترین رتبه اسـت .
در بخش بعدی، کاربرد مدل و الگوریتم ارائهشـده بـا مثـال عددی توضیح داده م یشود. مدل 10 برای حالت بـازده بـه مقیاس ثابت است. برای تعیین کـاراترین DMU در حالـت بازده به مقیاس متغیر مدل زیر پیشنهاد می شود:

)11(
M*  MaxM
st. .
M jj 1,…,k
n
Xij 1j 1,…,k
i1
mn
Yrj  u0 Xij   d j j0,j 1,…,k
r1i1
k
d j  k1
j1
0  j1;d j {0,1}j 1,…,k
~~**
Xij Di ;Yrj Dr ;Xij 1; Yrj  1 , i j r, ,
*
برای تعیین ماکزیمم مقدار 1 مدل برنامه ریزی خطـی زیر پیشنهاد می شود:
)12(
1* Max 
st. .
n
Xij 1j 1,…,k
i1
mn
Yrj  u0 Xij   d j j0, j 1,…,k
r1i1
k
d j  k1
j1
0  j1;d j {0,1}j 1,…,k
~~
Xij Di ; Yrj Dr ;Xij  ;Yrj  , i j r, ,

در لم زیر نشان داده می شود که مدل 11 برخلاف مدل
8 همواره شدنی است.
لم: مدل 11 همواره شدنی است.
برهان: به وضوح مدل 12 همواره شدنی است و دارای جواب
بهینة متناهی است. فـرض کنیـد (*01* *,v u d, *, *,*,u) ج واب بهین ة م دل 12 باش د. درای ن ص ورت، ج واب زی ر به وضوح یک جواب شدنی برای مدل 11 است:
(M v u d, , , ,,u0 ) 
(min{ 1*, 2*,…, k*},v u d*, *, *,*,u0*)
با استفاده از مـدل 11 در الگـوریتم ارائـه شـده در ایـن بخش، می توان بقیة واحدهای تصمیم گیری کارا را در حالت بازده به مقیاس متغیر پیدا و رتبه بندی کرد.
مثال عددی
در این بخش ،دو مثال ارائه م یشود. مثال اول نشان مـ یدهـد که ممکن اسـت مـدل 8 شـدنی نباشـد . مثـال دوم کـاربرد و سودمندی روش ارائه شده در این پژوهش را نشان می دهد.
مثال‌اول: چهار واحد تصمیم گیری را مطابق جـدول 1 درنظر بگیرید )ورودی ها از نوع داده های دقیق و خروجی هـا از نوع داده های بازه ای هستند(:
جدول 1. اطلاعات چهار واحد تصمیم گیری
شمارة
DMU ورودی 1 ورودی 2 خروجی
1 2 2 [1,2]
2 3 2 [1,3]
3 1 3 [2,3]
4 1 1 [24,25]

با حـل مـدل 9، بـرای ا یـن داده هـا داریـ م: 0.2*  0.2*  . مدل 8 با 0.2*  نشدنی است بنابراین، این مدل قادر به تشخیص کاراترین واحد تصمیم گی ـری نیسـت .
واضح است واحد 4، کاراترین واحد تصمیم گیری است.
با حل مدل 12، داریم 0.1451*  . با ب هکارگیری ایـن مقدار جواب بهینة مدل 11 به صورت زیر ب هدست می آید:
)13(
*2* 0j  4
M  0.625 10; d j 
1j  4
0414.v1*  0.145,v2*  0.181,u1*  0.072,u0*  همانطورکه انتظار م یرود، جواب بهینه نتیجه م یدهـد که 4DMU کاراترین واحد تصمیم گیری است. مـدل 11 بـا اضافهکردن محدودیت 1d4  نشدنی اسـت یعنـ ی واحـد کارای دیگری وجود ندارد.
مثال‌دوم:‌داده های این مثال )مطـابق پـژوهش] 21]( اطلاعات هجده تأمین کننده را دربردارد. این داده ها )جدول 2( در پژوهش سهرابی و نالچیگر نیز اسـتفاده شـده اسـت .
برای هرکدام از تأمین کنندگان دو معیار ورودی و یک معیار خروجی درنظر گرفته شده است. ورودی ها عبـارت انـد از: از هزینه ارسال کا 23- که اطلاعات آن دقیق است- و شـهرتتامینکننده24- که یک معیـار کیفـی اسـت و اطلاعـات آنبه صورت ترتیبی است. تعداد صـورت حسـابهـا ی دریـ افتی بدون خطا25 نیز بهعنوان معیار خروجی درنظر گرفته شـده است که اطلاعات مربوط به آن غیردقیق و بازه ای است.
معادلههای مربوط به ورودی ها و خروجی عبار تاند از:
هزینة ارسال کا )داده های دقیق(
1 {x11  253;x12  268;x13  259;…;x1,18  216}
شهرت تأمین کننده )داده های ترتیبی(
2 {x2,18 x2,16  … x2,17}
وضعیت تعداد صورتحساب های بدون خطـا
)داده های بازه ای(
1 
{150 y11 65; 60 y12  70;…;90 y1,18  50} با استفاده از تغییر متغیـر ذکرشـده در رابطـة 5، 1،
2 و 1 بهترتیب بهصورت زیر تبدیل م یشوند:
~ D1 {X11  253v X1; 12  268v X1; 13  259v1;…; X1,18  216v1}
~ D2 {X 2,18  X 2,16  …X 2,17}
~ D1 {50u1  Y1165u1;60u1  Y1270u1;…;
90u1 Y1,18 150u1}
بــا حــل مــدل 7، داریــم 01971522.* . ســهرابی و نالچیگر مدل 6 را برای داده های جـدول 2 بـ هکـار بردنـد و تأمین کنندة 4 را بـه عنـوان بهتـر ین تـأم ین کننـده معرفـ ی کردند.
ممک ن اس ت ح ل ای ن م دل ب ا ن رم افزاره ای دیگ ر جواب های متفاوتی داشته باشد، اما حل آن با مدل ارائ هشده در ایــن پــژوهش )مــدل 10( بــرا ی تعیــی ن کــاراترین تأمی نکننده جواب بهینة زیر را به دست می دهد:
M* 11*  .04454 و d11*  0
این جواب نشان می دهـد تـأ مین کننـ دة 11، کـاراتر ین
تأمین کننده است. با اضـافه کـرد ن محـدودیت 1d11  بـه مدل 10 و حل دوبارة آن داریم:
M* 14* .03352 و d14*  0

جدول 2. اطلاعات مربوط به هجده تأمین کننده
خروجی ‌ ورودی‌ها ‌ شمارة‌تأمین‌کننده ‌
تعداد‌
صورت‌حساب‌بدون‌مشکل‌((NB y1j شهرت‌
تأمین‌کننده*‌
(SR x2j) هزینة‌ارسال‌کالا‌(TC (x1j [50 ،65] 5 253 1
[60 ،70] 10 268 2
[40 ،50] 3 259 3
[100 ،160] 6 180 4
[45 ،55] 4 257 5
[85 ،115] 2 248 6
[70 ،95] 8 272 7
[100 ،180] 11 330 8
[90 ،120] 9 327 9
[50 ،80] 7 330 10
[250 ،300] 16 321 11
[100 ،150] 14 329 12
[80 ،120] 15 281 13
[200 ،350] 13 309 14
[40 ،55] 12 291 15
[75 ،85] 17 334 16
[90 ،180] 1 249 17
[90 ،150] 18 216 18
* با ترین شهرت: 18 و کمترین شهرت: 1

با توجه به کاهش مقدار بهینة *M، نتیجه مـ ی گیـریم ت أمی نکنن دة 14 دوم ین ت أمین کنن دة کاراس ت. نتیج ة به کارگیری الگوریتم ارائه شده در بخش قبل بـرا ی تعیـی ن و رتبه بنـد ی سـا یر تـ أمین کننـدگان کـارا در جـدول 3 آورده م ی ش ود. هم ان طورک ه در ای ن ج دول مش خص اس ت، تأمین کنندة 4 یکی از تأمین کننـدگان کاراسـت کـه مـدل س هرابی و ن الچیگر آن را ب ه اش تباه ب ه عن وان ک اراترین تأمین کننده معرفی کرده است. رتبة این تأمین کننـده بـ ین تأمین کنندگان کارا 4 است.
جدول 3. رتبه بندی تأمین کنندگان کارا
شمارة تأمین کنندة کارا رتبه M*
11 1 0/4454
14 2 0/3352
17 3 0/2399
4 4 0/2396
8 5 0/1512
نتیجه گیری
در این پژوهش، مدل های نوین تحلیـ ل پوششـ ی داده هـا ی سهرابی و نالچیگر )1389( برای تعیین کاراترین DMU در حالت بازده بـه مقیـ اس ثابـت و متغیـ ر و بـا درنظرگـرفتن داده های غیردقیـ ق بررسـ ی شـد ند. نتـ ایج نشـان داد مـدل ارائه شده در حالت بازده به مقیـ اس ثابـت قـادر بـه تعیـینکاراترین واحد تصمیم گیـری نیسـت و ایـ ن مـدل بـه طـور تص ادفی یک ی از DMU ه ای ک ارا را ب ه عن وان ک اراترین DMU انتخاب می کند. همچنـین ایـ ن مـدل ممکـن اسـت بیش از یک واحد را کارا معرفی کند. مدل ارائـه شـده بـ رای تعیین کاراترین DMU در حالت بـازده بـه مقیـ اس متغیـ ر، علاوه بر مشکلات با، ممکن است نشدنی باشد.
برای رفع مشکلات مذکور، مدل های ترکیبـ ی جدیـ دی ب رای تعی ین ک اراترین DMU در ه ر دو حال ت ب ازده ب ه مقیاس ثابت و متغیر ارائه شد. اثبات شد مدل ارائه شـده در حالت بازده به مقیاس متغیـ ر همـواره شـدنی اسـت . بـرا ی تعیین و رتبه بندی سایر تأمین کننـدگان کـارا در دو حالـت بازده به مقیاس ثابت و متغیر، الگوریتم جدید ارائه شد.
مدل ارائه شده برای تعیین کاراترین تأمین کننده از بین 18 ت أمین کنن ده ب ا داده ه ای غیردقی ق اس تفاده ش د و تأمین کنندة 11 به عنوان کاراترین تأمین کننده انتخاب شد. مدل سهرابی و نالچیگر تأمین کنندة 4 را به اشتباه، کاراترین تأمین کننـده مشـخص کـرده بـود . بـا الگـور یتم ارائـه شـده مشخص شد این تامین کنندة کـارا ، رتبـة چهـارم را بعـد از تـ أمین کننـ دگان کـ ارای 11، 14 و 17 دارد بنـ ابراین ،تأمین کنندة 4 کاراترین تأمین کننده نیست.

برای تعیین کاراترینتصمیم گیریغیردقیقمراجع
Charnes, A., Cooper, W. W. and Rhodes, E. (1978). “Measuring the efficiency of decision-making units.” European J. of Operational Research, 2, 429–444.
Banker, R. D., Charnes, A. and Cooper, W. W. (1984). “Some models for estimating technical and scale inefficiency in data envelopment analysis.” Management Science, 30, 1078–1092.
Andersen, P. and Petersen, N.C. (1993). “A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis.” Management Science, 39, 1261–1294.
Sexton, T.R., Silkman, R.H. and Hogan, A.J. (1986). “Data envelopment analysis: critique and extensions, in: R.H. Silkman (Ed.), Measuring Efficiency: An Assessment of Data Envelopment Analysis.” JosseyBass, San Francisco, CA, 73–105.
Allen, R., Athanassopoulos, A., Dyson, R.G. and Thanassoulis, E. (1997). “Weights restrictions and value judgments in data envelopment analysis: evolution, development and future directions.” Annals of Operations Research, 13–34.
Amin, G.R. and Toloo, M. (2007). “Finding the most efficient DMUs in DEA: An improved integrated model.” Computers & Industrial Engineering, 52(2), 71–77.
Amin, G.R. (2009). “Comments on finding the most efficient DMUs in DEA: An improved integrated model.” Computers & Industrial Engineering, 56, 1701–1702.
Toloo, M. and Nalchigar, S. (2009). “A new integrated DEA model for finding most BCC-efficient DMU.” Applied Mathematical Modelling, 33, 597–604.
Foroughi, A.A. (2011). “A new mixed integer linear model for selecting the best decision making units in data envelopment analysis.” Computers & Industrial Engineering, 60, 550–554.
Toloo, M. (2012). “On finding the most BCC-efficient DMU: A new integrated MIP–DEA model.” Applied Mathematical Modelling, 36, 5515–5520.
Wang, Y.M. and Jiang, P. (2012). “Alternative mixed integer linear programming models for identifying the most efficient decision making unit in data envelopment analysis.” Computers & Industrial Engineering, 62, 546–553.
Foroughi, A.A. (2013). “A revised and generalized model with improved discrimination for finding most efficient DMUs in DEA.” Applied Mathematical Modelling, 37, 4067–4074.
Cooper, W.W., Park, K.S. and Yu, G. (1999). “IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA.” Management Science, 45, 597–607.
Sohrabi, B. and Nalchigar, S. (2010). “A new DEA model for finding most efficient DMU with imprecise data.” J. of Industrial Engineering, 44 (1), 63-.37
Moheb Alizadeh, H. and Faez, F. (2009). “A Multi Objective Approach to Supplier Evaluation using Multiple Criteria Data Envelopment Analysis (MCDEA).” J. of Industrial Engineering, 43 (1), 67-.28
Ghaderi, S.F., Azadeh, M., Mirjalili, M. and Sheikhalishahi, M. (2010). “Assessment Human Resources of Banks Using DEA and Fuzzy DEA Approaches.” J. of Industrial Engineering, 44 (2), 213-.822
Ajalli, M. and Safari, H. (2011). “Analysis of the Technical Efficiency of the Decision Making Units Making Use of the Synthetic Model of Performance Predictor Neural Networks, and Data Envelopment Analysis (Case Study: Gas National Co. Of Iran).” J. of Industrial Engineering, 45 (1), 13-.92
Najafi, A.A. and Mansouri, S.M. (2013). “Portfolio Selection Problem with Eliminated Correlation between Indices Based on Fundamental Approach.” J. of Industrial Engineering, 47 (2), 229-.042
Rezaeian, J. and Asgarinezhad, A. (2014). “Performance Evaluation of Mazandaran Water and Wastewater by Data Envelopment Analysis and Artificial Neural Network.” J. of Industrial Engineering, 48 ()2, 201.312

Zhu, J. (2003). “Imprecise data envelopment analysis (IDEA): A review and improvement with an application.” European J. of Operational Research, 144, 513–529.
Talluri, S. and Baker, R.C. (2002). “A multi-phase mathematical programming approach for effective supply chain design.” European J. of Operational Research, 141 (3), 544–558. واژگان انگلیسی به ترتیب استفاده در متن
Data Envelopment Analysis (DEA)
Decision Making Units (DMUs)
Ratio Efficiency
Constant return to scale
Variable return to scale
Supplier evaluation and selection
The most efficient DMU
None Linear Programming (NLP)
Redundant
Outliers data
Imprecise data
Interval data
Weak ordinal data
Imprecise DEA
Non-Archimedean
Bounded Data
Bounded data ratio
Non-linear
Non-convex
Binary
Super-efficient
Infeasible
Total cost of shipments (TC)
Supplier reputation (SR)
Number of bills received from the supplier without errors (NB)



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید