نشریه تخصصی مهندسی صنایع، دوره 49، شماره 1، بهار و تابستان 1394، از صفحه 1 تا 9
توسعة مدل قیمت گذاری کالاهای زوال پذیر با نرخ زوال ثابت با
درنظرگرفتن جایگزینی کالاهای فاسدشده
ابراهیم تیموری1 و سید محمدمهدی کاظمی 2*
دانشیار دانشکدة مهندسی صنایع دانشگاه علم و صنعت ایران
دانشجوی دکتری دانشکدة مهندسی صنایع دانشگاه علم و صنعت ایران
)تاريخ دريافت 21/10/92 ـ تاريخ دريافت روايت اصلاح شده 19/2/93 ـ تاريخ تصويب 28/10/93( چکیده
تعیین سیاست کنترل موجودی مناسب و قیمت فروش بهینة کالاهای مختلف، از موضوعات اصلی تحقیقاات علمای و صانعتی اسات. از ار دیگر، امروزه بسیاری از کالاهایی که در بازار وجود دارند در زمرة اقلام زوال پذیرند. بنابراین، تعیین قیمت بهینه و سیاست های موجاودی بهیناهبرای این نوع کالاها اهمیت بالایی دارد. در این پژوهش یک زنجیار ة تا أمین ساه ساححی ، شاام یاک تودیدکنناده، یاک توزیاع کنناده و یاکخرده فروش، در نظر گرفته شد که در آن فقط یک نوع کالای زوال)فساد(پذیر با نرخ زوال )خرابی( ثابت عرضه می شاود. تقاضاا در ایان زنجیارهقحعی و بازپرسازی در آن دحظه ای بود. هد محادعة سیستم موجودی توزیع کنندة این زنجیرة تأمین بود؛ وری که سود ک سیساتم بیشاینهشود. دستاورد کلیدی این محادعه نیز توسعة مْدل جدید و ارائة ادگوریتمی بود که مقادیر بهینا ة قیمات فاروش محصاول و اول دورة سافارشتوزیع کننده را، که متناظر با سود بیشینه است، تعیین کند. بخشی از موجودی اودیة انبار در اثر زوال )خرابی( و فساد از بین مای رود؛ در نتیجاهتوزیع کننده میزان کالای خراب شده را اسقاط و به همان اندازه در انبار خود کالای سادم جایگزین می کند. جایگزینی کالا در انباار توزیاع کننادهنیز دحظهای در نظر گرفته شد. در انتها مثال عددی برای تشریح مدل ارائه می شود و تحلیا سساسایت روی مقاادیر برخای پارامترهاا صاورتمی گیرد.
کلیدواژگان: جایگزینی، زنجیرة تأمین، قیمت گذاری، کالای فسادپذیر.
مقدمه
در سال های اخیر، در بازارهاای واقعای، باه ددیا افازایش
هزینه ها، روند جهاانی شادن، رو باه پایاان رفاتن مناابع ، و کوتاهی ول عمر کالاها به یکپارچگی زنجیرة تأمین بسیار توجه شده است. همان ور کاه مای دانایم ، قیمات گاذاریعاملی مهم در افازایش ساودآوری زنجیارة تاأمین اسات و یکی از استراتژی های رایج در ایجااد همکااری در زنجیارة تاأمین باه شامار مای رود .پولاتوغلاو [1] بار تصامیم هاایهم زمان قیمت گذاری و خریاد بارای یاک مادل موجاودیتک دوره ای با تقاضای قحعی و استمادی تمرکز کرده است.
16764-20061

Email : [email protected] 021439864444 :نویسنده مسئول تلفن: 02126303445، فکس *
چن و همکاران [2] مسئلة کنترل موجودی و قیمت گذاری تحت بررسای دوره ای را بارای یاک خارده فاروش ، کاه بااتقاضای تصادفی وابسته به قیمت مواجه می شاود ، محادعاه کردند. در این تحقیق، هر تقاضای پاسخ داده نشده از دسات می رود و هر موجودی باقی ماناده در انتهاای دورة محادودفروش ارزش بازیاافتی د ارد. ساجادیه و همکااران [3] روی یک زنجیرة تأمین دوسححی، شاام یاک توزیاع کنناده و خری دار، تمرک ز کردن د و ی ک م دل تودی د ا موج ودی ا بازاریابی را به ور هام زماان توساعه دادناد بارای تعیاینمتغیرهای تصمیم بهینه ای که سود را ماکزیمم مای کنناد.
مدل توسعه داده شده بر پایة سود ک توزیع کننده و خریدار است و سیاست های بهینا ة سافارش دهای، سما ونقا ، و قیمت گذاری را مشخص مای کناد. هوانا و همکااران [4] دربارة هماهنگی تصمیم های سرمایه گذاری از قبی انتخاب تأمین کنندگان و اجزا و قیمت گاذاری و موجاودی در یاکزنجیرة تأمین چندسححی متشک از چندین تأمین کننده ،یک تودید کننده، و چنادین خارده فاروش تحقیاق کردناد.
آن ها مسئله را به عنوان یک بازی پویای سه سححی و غیار همکاری مدل کردند.
از ار دیگ ر ، از آنجاا ک ه اماروزه بیش تر کالاه ا در معرض زوال )خرابی( قرار دارند، محادعة کنتارل موجاودیکالاهای فسادپذیر جایگاهی ویاژه دارد. بهااری کاشاان ی [5] یک مدل هیورستیک برای تعیین برنامة سفارش دهی برای کالاهای فسادپذیر ارائه کرد که در آن تقاضا در ول زمان به ور خحی تغییر مای کناد . در ایان مادل هیورساتیک،اندازة سفارش و اول چرخاة بازپرساازی ، هار دو، متغیاراست. چان و دین [6] روش جریان نقدی تخفیاف یافتاه ر ا برای بررسی مسائلة بازپرساازی موجاودی بارای کالاهاایفسادپذیر، با درنظرگرفتن ارزش زمانی پول، در اول یاکاف ق برنام هری زی ثاب ت دنب ال کردن د. آن ه ا م دل ه ا و جواب های بهینة با پاس افات و بادون پاس افات را تو ساعهدادند. راو و همکاران [7] در زمینة توساع ة مادل موجاودیبرای کالاهای فسادپذیر با وقوع کمبود برای تاأمین کننادهکار کردند. نتایج بررسی های آن ها نشاان داد تصامیم هااییکپارچه در مقایسه با تصمیم هاای مساتق تاأمین کنناده،تودیدکننده، و خریدار از دحاظ هزینه به صرفه تر اسا ت. هاو[8] یک مدل موجودی برای کالاهای فسادپذیر با نرخ زوال
)خرابی( وابسته به موجاودی و کمباود باا شارایط تاورم وتخفیف زمانی در ول یک افاق برناماه ریازی محادود باه دست آورد. دی و چان [9] شیوة تفکر سیستم دینامیک را برای رح یک سیستم جدید سفارش دهی و شابیه ساازیسیستماتیک به کار بردند. نتیجة کار آن ها نشان داد شایو ة شبیه سازی سیساتم دینامیاک مناساب اسات و کمتارینهزینة زنجیره را به دست می دهد. چانا [10] یاک مادلموجودی تک مرسله ای را در نظر گرفت که در آن فرسایش موجودی فقط با نرخ ثابت انجام می شود. سپس اثر تقاضای وابسته به موجودی و همچنین رابحة بین سیاست گاارانتیکالاهای معیوب را بررسی کرد و یک مدل موجودی ا تودید یکپارچة دومرسله ای برای کالاهای فساادپذیر باا سیاساتبازپرسازی و برنامة نظارتی توسعه داد.
هنگامی که کالا فسادپذیر باشد، مسئلة قیمات گاذاریاهمیتی دوچندان می یابد. بنابراین، مدل های قیمت گاذاریکالاهای فسادپذیر به ددی نزدیک شدن باه شارایط واقعایکسب وکار بسیار مهم اند. وی [11] توسعة مادل موجاودیقحعی با تخفیف مقداری، قیمت گاذاری ، و سافارش معاو
جزئی را بررسی کرد. یان [12] یک سیاست سفارش دهی و قیمت گذاری بهینه را بارای کالاهاای فساادپذیر باا نارختقاض ای سس ا ب ه قیم ت توس عه داد. از آنج ا ک ه در هماهنگی و اتحاد بین خریدار و توزیع کننده توزیاع کننادهبیشتر از خریدار سود می بارد، اساتفاده از یاک اساتراتژیقیمت گذاری و تخفیف مقداری برای وادارکردن خریدار باهپاذیرش اتحااد لازم اسات. دای و همکااران [13] ی ک سیستم تک محصاودی باا افاق نامحادود و مقادار سافارش
اقتصادی را در نظر گرفتند. تی سائو و شین [14] مسئلة قیمت گذاری پویا، ترفیع، و بازپرسازی را برای یاک کاالایفسادپذیر با اعتبار تجااری تاأمین کننادگان و تالاش هاایترفیعی خرده فروشان محادعه کردناد . هاد آن هاا تعیاینقیمت خرده فروشی بهیناه، تالاش هاای تبلیغای ، و مقاداربازپرسازی بهینه بود. هوان [15] مدل موجودی یکپارچه را برای تعیین سیاسات بهیناه باا شارایط کااهش هزیناة پردازش سفارش و تأخیر مجاز در پرداخات هاا توساعه داد. دای [16] ی ک م دل مق دار س فارش اقتص ادی قحع ی، تقاضای کلی ،زوال )خرابی(، و تابع هزینة خرید واسد را باادو سحح سیاست اعتبار تجااری در نظار گرفات. هاد اویافتن مقادیر بهینة قیمت فروش، تعداد بازپرسازی، و رح بازپرسازی بود. میهمی و نخعا ی [17] یاک مادل کنتارلموجودی و قیمت گذاری هم زمان برای کالاهاای فساادپذیرغیر آنی با تأخیر مجاز در پرداخت هاا ارائاه کردناد . هاد اصلی تعیین قیمت فروش بهینه، برنامة بازپرسازی بهینه، و مقدار سفارش بهینه به ور هم زمان بود؛ وری کاه ساود ک را ماکزیمم کند.
هنگ امی ک ه ک الا فس ادپذیر )شکس ت پ ذیر( باش د، می تا وان از سیاسات هاای جاایگزینی نیاز بارای کالاهاایفاسدشده استفاده کرد. در ادامه چند نمونه می آید. ناودم وهمکاران [81] روشی را برای یاافتن سیاسات هاای تودیاد،تعمیر ا جایگزینی، و تعمیر ا نگهداری بازدارندة بهینه باراییک سیستم تودیدی ارائه کردند. در این سیساتم، شکسات )زوال( تصادفی ماشین و همچناین تعمیارات وجاود دارد.وقتی یک زوال )خرابی( در سیستم اتفا می افتاد ماشاینیا تعمیر می شود یا جایگزین. عم جایگزینی ماشین را ناومی کند؛ در سادی که عم تعمیر کیفیت ماشاین را پاایینمی آورد )هیچ گاه عملکرد ماشین نو با ماشین تعمیری یکی نیست(. تعمیر ا نگهداری بازدارناده نیاز باه منظاور بهباودقابلیت ا مینان ماشین در نظر گرفته می شود. متغیرهاایتصمیم در این مادل نارخ تودیاد، نارخ تعمیار ا نگهاداریبازدارنده، و سیاست تعمیر ا جایگزینی است. مدل آن ها بارپایة فرایند تصمیم شبه مارکو است و هد ایان محادعاهیاافتن متغیرهاای تص میمی اسات کاه هزین ه هاای کل یسیستم را مینیمم کند. سیوازدیان و دنوساپوترا [91] دخول مسئلة کنترل موجودی اجزای شکست پذیر )فسادپذیر( باهیااک مسائلة ج ایگزینی کلاس یک را در نظ ر گرفتن د و مقایسااه ای بااین ترکیااب جااایگزینی فااردی و سیاسااتموجودی با ترکیب جایگزینی گروهی و سیاست موجاودیانجام دادند. تابع هد آن ها مینیمم کردن هزینة میاانگیندر هر واسد زمان بود. چن [02] مسئلة تعمیر ا نگهاداریبازدارنده را در تئوری قابلیات ا میناان از نظار اقتصاادیبررسی کرد. به ور کلای ، هنگاام وقاوع شکسات در یاک
پذیر
سیستم دو سادت اتفا مای افتاد. در سادات اول، شکسات )زوال( قاب تعمی ر اس ت و ب ا کمت رین تعمی ر درس تمی شود. در سادت دوم، شکست تعمیرشدنی نیست. در این سادت، جایگزینی اصلاسی اتفاا مای افتاد. وی بارای هارسیاست به ور تحلیلی برناماة بهیناه ای بارای جاایگزینیبازدارنده، که میانگین هزینه را مینیمم می کناد ، ارائاه داد.
گومز و همکاران [12] به ور هم زمان مسئلة برناماه ریازیتودیااد و کنتاارل کیفیاات را باارای یااک سیسااتم تودیاادتک ماشینه و غیر قاب ا مینان، که فقط باه تقاضاای یاکمحصول پاسخ می دهد، بررسی کردند. در این مدل، ماشین در مع رض زوال )خراب ی( ب ود و اث ر آن عم دتاً روی ن رخ کالاهای معیوب تودیدشده در ول زمان مشاهده مای شاد.هد اصلی این محادعه تعیین هم زمان برنامة تودید بهیناهو تعمیرات اساسی بار ای سیساتم تودیاد باود؛ اوری کاههزین ة ک مین یمم ش ود. گ وین و همک اران [22] اث ر موجااودی قحعااات یاادکی را روی تصاامیم هااای تعمیاار ا نگهداری ابزار یا جایگزینی آن ها بررسای کردناد. در مادلآن ها تغییارات تکنوداوکیکی هام در نظار گرفتاه شاد. در نتیج ه، تص میم ج ایگزینی بس یار پیچی ده اس ت . زی را تصمیم گیرنده باید دربارة اینکاه دارایای خاود را باا کادامتکنودوکی جایگزین کند نیز تصمیم بگیرد. آن ها همچنایناز ریق فرایند تصمیم مارکو به فرمول سازی پرداختنا د .ج ین و گوپت ا [32] ی ک سیس تم موج ودی ب ا کالاه ای فسادپذیر غیر آنی را در نظر گرفتند که در آن نارخ تقاضاا تابعی از تبلیغات کالا و قیمت فروش بود. آن هاا باا تعیاینپارامترها ای بهینا ة موجا ودی و بازاریا ابی سا ود کا خ رده ف روش را م اکزیمم کردن د. چن و د ی [42] ی ک سیس تم س ادة قاب تعمی ر فس ادپذیر ب ا دو ن وع ساد ت شکست را محادعه کردند. آن ها فرض کردند سیستم بعد از تعمیر به خوبی یک سیستم جدید نیسات و زوال )خرابای( تصادفی است .با این فرضایات، آن هاا یاک مادل پاردازشهماهن برای سیستم فاسدکننده معرفی کردند.
ب ه ور کل ی، ب ا توج ه ب ه بررس ی ه ا و محادع ات انجام شده، می توان گفت گرچه پژوهش هایی که به موضوع قیماات گااذاری و کنتاارل موجااودی کالاهااای فسااادپذیر پرداخته اند نسبتاً متعددند، مقاده یا محادعه ای کاه باه ایانسه موضوع، یعنی قیمت گذاری و کنترل موجودی کالاهای فس ادپذیر ب ا درنظرگ رفتن سیاس ت ج ایگزینی کالاه ای فاسدشده به ور هم زمان پرداخته باشد ،دیده نمی شود. از آنجا که کالاهای فسادپذیر در ول زمان فاسد می شاوند و هزین ه ای را ب ه سیس تم تحمی م ی کنن د، اس تفاده از سیاستی که بتواند از این کالاهای فاسدشده استفاده کند و به کاهش هزینة سیستم بینجامد بسیار محلوب خواهد بود .
در نتیجه، در اداما ة ایان تحقیاق بار ایان موضاوع ، یعنای«توسعة مدل قیمات گاذاری بارای کالاهاای فساادپذیر باادرنظرگ رفتن سیاس ت ج ایگزینی کالاه ای فاسدش ده »، تمرکز می شود. سؤال های اصلی این تحقیق نیز عباارت اناداز اینکه اولاً در این سیستم کدام کالاهای فساادپذیر را در چه فواص زمانی سفارش دهیم و ثانیاً محصول را باه چاهقیمتی بفروشیم تا سود ک سیستم بیشینه شود. در بخش دوم مسئله بیان و تعریف می شود. در قسمت سوم ،پاس از تعریف نمادها و پارامترها ،به مد ل ساازی ریاضای پرداختاه می شود. سپس برای س آن ها در بخش چهارم روش هاایریاضی بیان می شود .در قسمت پنجم مثاال عاددی باراینشان دادن کاربردی بودن مدل ارائاه مای شاود . در قسامتششم به تحلی سساسیت پرداختاه مای شاود . و نهایتااً در قسمت هفتم جمع بندی ارائه می شود.
شرح و بیان مسئله
زنجیرة تأمینی را ،شام یک تودیدکننده و یک توزیع کننادهو یک خرده فروش، در نظر بگیرید که فقط یاک ناوع کاالایفس ادپذیر ب ا ن رخ زوال )خراب ی( ثاب ت تودی د م ی کن د و می فروشد. هد اصلی محادعة سیستم موجودی توزیع کنندة این زنجیرة تأمین و توساعة ماددی بارای تعیاین هام زماانمقااادیر بهینااة قیماات فااروش محصااول p و ااول دورة سفارش T توزیع کننده به منظور ماکزیمم کاردن ساود کا است. در این تحقیق توزیع کننده در ابتدای دورة سفارش باهمیزان تقاضای آن دوره کالا سفارش می دهد. اما، از آنجا کاهکالاها فسادپذیرند، در ول دورة سفارش بخشی از کالاهاایموجود در انبار خاراب مای شاوند و در نتیجاه توزیاع کننادهمجبور است برای تأمین تقاضای مشاتریان خاود باه میازانکالاهای خراب شده جنس سادم جایگزین کناد. در سقیقات، او ابتدا کالاهای خراب شاده را اساقاط )بازیافات( مای کناد وسپس به همان اندازه) انادازة کالاهاای خاراب شاده( کاالایسادم مای خارد . در ایان تحقیاق فارض بار ایان اسات کاهجایگزینی دحظه ای اسات و هزیناة خریاد مجادد کالاهاا بااهزینة خرید اودیة آن برابر است. به علاوه، باه منظاور تعیاینقیمت فروش بهینه، فرض کاردیم تقاضاای مشاتری تاابعیخحی از قیمت محصول است، (D p( )  (a bp، که در آن ,a b مقادیری ثابت و مثبت اند. کمباود مجااز نیسات وهمة تقاضاها باید پاسخ داده شوند. همچنین در این زنجیارهبازپرسازی دحظه ای و تقاضا قحعی است.
مدل سازی
برای مدلکردن، پارامترها و متغیرهای تصمیم باه صاورتزیر تعریف میشوند:
پارامترها I t(): سحح موجودی در زمان t
: نرخ زوال) خرابی( ثابت
()D p: نرخ تقاضای وابسته به قیمت FD: هزینة ثابت ارسال
FP: هزینة ثابت سفارشدهی )خرید( CD: هزینة ارسال هر واسد کالا
CP: هزینة سفا رشدهی )خرید( هر واسد کالا CH: هزینة بازیافتی هر واسد کالا )ارزش اسقا ی( h: هزینة نگهداری هر واسد کالا در هر واسد زمان Qp: مقدار کالاهای فاسدشده
متغیرهای تصمیم
p : قیمت فروش هر واسد کالا T: ول دورة سفارش
رابحة دیفرانسی 1 وضعیت موجودی توزیاع کنناده رادر هر دحظه از زمان نشان می دهد:

dI tdt( ) I t( )D p( ) ; t[0,T] )1(
با س رابحة 1، با استفاده از شرط مارزی 0I T( )، رابحة موجودی توزیع کننده به صورت رابحاة 2 با ه دساتمی آید:
D p( ) (T t )
I t( ) 

 (e)1 )2(
به منظور تعیین مقادیر بهینة متغیرهای تصمیم، ابتادا باید تابع سود مدل شود و از آنجا که میزان سود از تفاضا بااین درآمااد و هزینااه باا ه دساات ماای آیااد، ابتاادا باارایبه دست آوردن درآمد به صورت زیر عم می کنیم:
درآمد: در این تحقیق T ول دورة سافارش در نظارگرفته شده و تقاضا در اول ایان دوره ()D p اسات . در نتیجه، درآمد در ک دورة سفارش بر اسا رابحة 3 چنین خواهد بود:
D pTp a bpTp( )  () )3(
مؤلفههای‏هزینة‏توزیع‏کننده: در این تحقیق فارضمی شود تابع هزینه شام هزینه های سفارش دهی، ارساال،نگهداری، و جایگزینی خواهد بود؛ که هر یک به تفصی در زیر بیان و محاسبه می شود:
هزینة سفارش دهی: در این مدل ابتدا به میزان تقاضای دوره سفارش می دهیم و از آنجا که سفارش دهی شاام دوبخش هزینة ثابت و هزینة متغیر است، هزینة سفارش دهی بر اسا رابحة 4 چنین خواهد بود:
FP C D p TP ( )  FP C a bp TP(  ) )4(

هزینة ارسال: چون مقدار ارسال در هر چرخه به میزان تقاضا در آن چرخه، یعنی ()D p، است، با داشتن FD به منزدة هزینة ثابت ارسال و CD به منزدة هزینة ارسال هارواسد کالا میزان هزینة ارسال در ک چرخة سافارش دهایبا رابحة 5 به دست می آید:
F C D pT F C a bpTD D ( )  DD(  ) )5(
هزینة نگهاداری : باق رابحاة 2، ساحح موجاودی در
دحظااة t براباار بااا I t( )

D p( )( 1 e(T t ))aa1121 aa1222  است. پس، با استفاده از بسط سری تیلور تا سه جمله برای
عبارت نماایی eT باه صاورت 2eT   1 T 

2 2T و جایگا ذاری (D p( ) ( a bp با رای سا ادگی ،هزینا ة نگهداری موجودی در هر چرخة بازپرسازی بر اسا رابحة
6 چنین خواهد بود:
h0T I t dt( )  h0T 

D p( )( 1 e(T t ))dt )6(
hD p T( ) 3h a( bp T) 3
27399557433


22
هزینة جاایگزینی : هزیناة جاایگزینی عباارت اسات از تفاض هزینة خرید کالا به اندازة کالاهاای خاراب و ارزشاسقا ی) هزینة بازیافت( کالاهای خراب. از رفی می دانیم که اگر از موجودی ابتادای دوره مقادار تقاضاا و موجاودیانتهای دوره کم شود، مقدار زوال )خرابی( به دست خواهادآمد )رابحة 7(:
Qp  I(0)I T( )D p T( ) )7(
از آنجا که میزان موجودی در ابتدای دورة سافارش باا
پذیر
جایگاذاری 0t  در رابحاة 2 برابار ب ا 1(I(0) 

D p( )(eT 

است و در انتهاای دوره ساحح موجاودی باه 0 مای رساد ، 0I T( )  ، و تقاضا در ول چرخا ة سافارش ()D p T است. در نتیجه مقادار زوال )خرابای( بار اساا رابحاة 8 چنین خواهد بود:
Qp  I(0)I T( )D p T( )

(a bp )(eT   1) (a bp T) )8(

در نتیجة استفاده از بسط سری تیلور تا سه جمله برای
عبارت نمایی eT به صاورت eT   1 T 

2 2T هزینا ة
2جایگزینی بر اسا رابحة 9 چنین خواهد بود:
)9( C Qp ( p )C QH ( p )Cp CH Qp Cp هزینة خرید کالا به اندازة کالاهای خراب است کاهبا قیمت خرید اودیة کالا یکسان در نظر گرفته شاده و ارزش اسقا ی است.
سال که تک تک پارامترهای هزینه در یک سیساتم باه ور جداگانه محاسبه شدند، با داشتن تابع درآمد در رابحة 3 و استفاده از رابحاه هاای 4، 5، 6، 9 تاابع ساود کا بار اسا رابحة 10 چنین خواهد بود:

F C D pTP  P ( ) 

hD pT( )2 3   TP pT( , ) D pTp( ) F C D pTD  D ( )  2  )10(
D pT( )D pT( ) 
(C CP  H ) D p T( ) 3

2
قضیی ه: (, )TP PT مقعاار اساات اگاار و تنهااا اگاار
.a  2bp
برهان: ( , )TP PT مقعر است اگر و تنها اگر
:که در آن X HX.. T P T H P T   T  0
2TP2TP 
2 
342404-113398

H 2pTP  p T2TP 
 T p T2  )11(
2bT Z
Z -3hTD p D p( ) ( )(23T C C)( p  H )
به نحوی که:
3bhT2

Z a bp 2 bCP 2    2  )12(
3 T bC C( PH)(2T 1

) bC
2D

پس از عملیات بالا، عبارت X H X  T به صاورترابحه ای درجة دو به شک رابحة 13 به دست می آید:
X H X  T   T2  T )13(
و برای اثبات تقعر باید نشان داده شود )رابحة 14(:
X H X  T   T2   T0 )14(
یعنی مشتق دوم این رابحاة درجا ة دو منفای و همچناین 0 است. پس، تابع سود ( , )TP PT مقعر اسات اگار وتنها اگر a 2bp و این بدین معنی است کاه در رابحاة خحی تقاضا، که تابعی از قیمت محصول است، باید ضاریبثابت همواره بزرگتار از دو برابار ضاریب قیمات محصاولباشد. باه عباارت دیگار، هماواره قیمات محصاول بایاد ازمقداری مثبت کمتر باشد و یاک ساد باالا داشاته باشاد و قیمت از سدّ معینی بالاتر نرود و اثباتّ کام می شود.
حل مدل
برای س مدل از رابحة 10 نسبت به p مشتق می گیاریم
)رابحة 15(:
TP p T( , )
 aT 2bpT 
P
103807-287170

bTCP  bhT2 3 b C( P CH ) )15(

3
(T 2  T T2 )bTCD از ر دیگر، مشتق رابحة 10 نسبت به T بر اساا رابحة 16 چنین است:
TP p T( , )

 (abp p) 
T
3hT2
CP(abp)

2(abp) )16(

(abp C) D(abp C)( P CH )
(2T  1

3T2 )
2
با 0 قراردادن رابحة 15 رابحة 17 را خواهیم داشت:
* a hT2 T p    (C CP  H ) 
602250-77995

2b42T2 )17(

(C CH  D) (C CP  H )
4
با جایگذاری رابحة 17 در رابحاة 18 و 0 قاراردادن آنرابحه، رابحة 16 به رابحة 18 تبدی می شود:
AT4 BT CT3  2 DT E  0 )18(
که یک چندجمله ای درجة چهار بر سسبT است کاه درآن:
A16

5b(C CP  H)h2 )19( B bC C ( P  H )(C CP  H )h )20(
C    a bC bCD H 
1043388105312

254458105312

3(C CP  H)3h34b PH 2 )21(
 44 (C C)
D   a bC bC C CD  H ( P  H) )22(
2
387611-15774



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید