نشریه تخصصی مهندسی صنایع، دوره 48، سال 1393، ویژه نامه دهمین کنفرانس بین المللی مهندسی صنایع، از صفحه 63 تا 70 تخمین نقطه تغییر در پروفایلهاي چندجملهاي با تغییر تدریجی در میانگین فرایند

مجید امین نیري1، بابک محمدي2 و مونا ایوبی 3
1دانشیار دانشکده مهندسی صنایع – دانشگاه صنعتی امیرکبیر
2 کارشناس ارشد مهندسی صنایع- دانشگاه صنعتی امیرکبیر
3دانشجوي دکتراي مهندسی صنایع- دانشگاه تربیت مدرس

چکیده
در این مقاله، تخمین نقطه تغییر تدریجی در میانگین پروفایلهاي چندجملهاي مد نظر قرار میگیرد. بدین منظور با استفاده از رویکرد
حداکثر درست نمایی تخمین زننده، نقطه تغییر تدریجی محاسبه میشود. عملکرد تخمین زننده پیشنهادي پس از اینکه نمودار کنترل 2T- هتلینگ هشداري مبنی بر خارج از کنترل بودن فرایند صادر کند، با استفاده از شبیه سازي مونت کارلو ارزیابی میشود. نتایج شبیه سازي ها نشان میدهند که عملکرد تخمین زننده پیشنهادي از نظر درستی و دقت تخمین زننده، با افزایش شیب تغییرات بهبود مییابد. همچنین در تغییرات کوچک و بزرگ، عملکرد مطلوب تخمین زننده پیشنهادي مشهود است.

واژه هاي کلیدي: تخمین نقطه تغییر، تغییر تدریجی1، رویکرد حداکثر درستنمایی2، پروفایلهاي چندجملهاي3،
کنترل فرایند آماري

مقدمه
Email: [email protected] ، 021 – 82884358 :نویسنده مسئول: تلفن *

اگر در مسائل کنترل کیفیـت آمـاري، کیفیـت یـکمحصول یا عملکرد یک فرایند، به وسیله یـک رابطـه بـینمتغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل توصیف شود، این رابطه را پروفایـل مـی نامنـد . تحقیقـات زیـادي در زمینـهپروفایلهاي خطی و چندجملـه اي انجـام شـده اسـت کـهمی توان به کنگ و آلباین [1]، کیم و همکاران [2]، گوپتا و همکاران [3]، نورالسناء و همکاران [4]، [5]، سلیمانی و همک اران [6]، زو و همک اران [7] اش اره ک رد. محم ود و همکاران [8]، از تکنیک نقطه تغییر براي کشـف شـیفت وهمچنین زمان تغییر در پروفایلهاي خطی ساده در فـاز 1 استفاده کردند. تکنیک نقطه تغییـر پیشـنهاد شـده توسـطآن ها، قادر است علاوه بر کشف تغییر و زمان تغییر، عامـلشیفت را نیز شناسایی کند. یعنی زمانی که شیفتی توسـطنمودار کنترل، تشخیص داده شود، میتوان تعیین کرد کـهکدام یک از پارامترهاي عرض از مبدأ، شـیب یـا واریـانسسهم بیشتري در ایجاد این شیفت داشتهاند. زو و همکاران [7]، روشی مبتنی بر نقطه تغییر را براي پـایش پروفایـل-هاي خطی ساده در فاز 2 پیشـنهاد کردنـد. ایـن روش بـااستفاده از آماره نسبت درست نمایی تعمیم یافتـه، شـیفتدر عرض از مبدأ و همچنین شـیب و انحـراف معیـار را بـااستفاده از یک نمودار کنترل کشف میکند. این روش قادر به کشف نقطه تغییر نیز هست. آن ها همچنین روشی براي شناسایی عامل هشدار ارائه دادند. شـرفی و همکـاران [9] نقطه تغییر را در پروفایلهاي باینري در فاز 2، زمـانی کـهنوع تغییر بـه شـکل تـدریجی اسـت، بـا اسـتفاده از روشحداکثر درسـت نمـایی بـ ه دسـت آوردنـد و همچنـین درمرجع [10] از روش برآوردگر حداکثر درست نمـایی بـرايشناسایی زمان واقعی نقطه تغییر که شیفت آن به صـورتپلهاي است، براي پروفایلهـاي پوآسـن در فـاز 2 اسـتفادهکردند.
نمودارهاي کنترل با وجود کارآیی و توانایی بالاي خود در کنترل و پایش فرایندها، توانایی تشخیص زمان واقعی و علل ریشهاي اختلالات به وجود آمده در فراینـد را ندارنـد. براي بهبود کیفیـت فراینـد لازم اسـت کـه علـل ریشـهاي انحرافات، شناسایی و برطرف شوند. هنگامی که یک نمودار کنترل، وجود انحرافات با دلیل در فراینـد را هشـدار مـی-دهد، مهندس، فراینـد جسـتجو را بـراي شناسـایی منبـعانحرافات آغاز میکند. اما نکته قابل توجـه ایـن اسـت کـهاغلب زمان واقعی نقطه تغییر فرایند، قبل از زمان هشـدار ، توسط نمودار کنترل است. بنابراین تخمـین نقطـه تغییـرقبل از هشدار توسط نمودار کنتـرل ، مـ ی توانـد منجـر بـهکاهش مدت زمان جستجو بـراي شناسـایی و حـذف علـلریشهاي انحرافات فرایند شده، تـا از تولیـد تعـداد زیـاديمحصول معیوب، جلوگیري شود. تغییـرات انجـام شـده در توزیع آماري یک مشخصه کیفـی را مـیتـوان بـه صـورتتغییر پلهاي، تغییر تدریجی و تغییـر مونـوتونیـک پـارامتردسته بندي کرد [11]. ساموئل و همکاران [12]، پیگناتیلو وساموئل [13]، نیشینا [14]، احمدزاده [15]، نورالسـناء وهمکاران [16]، شرفی و همکـاران [17]، تغییـر پلـهاي در فاز 2 را مورد مطالعـه قـرار دادنـد و پـري [11]، فهمـی والسید[18]، پري و پیگناتلو[19]، آتشگر و نورالسـن اء[20]، ش رفی و همک اران [9]، تغیی ر ت دریجی، ج ان [21] و سولیوان[22] تغییر ایزوتونیـک و پـري و همکـاران [23]، [24] و نورالسناء و شادمان [25] تغییر مونوتونیک را مورد بررسی قرار دادند.
در مورد پایش پروفایـل هـا و نقطـه تغییـر، تـا کنـونرویکردي براي تخمین نقطه تغییر براي پایش پروفایلهاي چندجملهاي در فاز 2 ارائه نشده است، که در این مقاله مد نظر قرار می گیرد. در این مقاله، با استفاده از روش حداکثر درس ت نم ایی، ب راي تخم ین نقط ه تغیی ر ت د ریجی در می انگین پروفای له اي چندجمل هاي و از نم ودار کنت رل چندمتغیره 2Tهتلینگ براي پایش پـارامتر هـاي پروفایـلچندجملهاي در فاز 2 استفاده می شود.
ساختار مقاله بدین صورت است که در بخش 1، نمودار
2Tهتلینگ براي پایش پروفایل چندجملـه اي از درجـهk م رور م یش ود. در بخ ش ،2 م روري ب ر م دل پروفای ل چندجملهاي درجه دو و محاسـبه تخمـین زننـده حـداکثردرست نمایی نقطه تغییر تـدریجی و در بخـش 3، ارزیـابیعملکرد تخمین زننده پیشنهادي نقطه تغییر تدریجی ذکـر میشوند. در بخش 4 نیز نتیجه گیري ارائه خواهد شد.

1 – نمودار کنترل چندمتغیره 2T هتلینگ به منظور پایش پارامترهاي پروفایل چندجملهاي درجه k در فاز 2
یکی از نمودارهـایی کـه مـیتـوان از آن بـراي پـایشپروفایل هاي چندجمله اي استفاده کرد، نمودار کنتـرل 2T هتلینگ است که توسط کنـگ و آلبـاین [1] بـراي پـایشپروفایلهاي خطی ساده در فاز 2 پیشنهاد شده است. ایـنرویکرد با کمی تعدیل براي پایش پروفایلهاي چندجمله-اي در فاز 2 می تواند بـه کـار گرفتـه شـود. آمـاره 2T بـهصورت رابطه (1) تعریف میشود:
T j2  (βˆ j β Σ β)T 1(ˆ j β) (1)
که در این رابطه، برآوردکننده حداقل مربعات ماتریس واری انس-کوواری انس ب ه ص ورت1(Σ 2(XX اس ت.
برآوردکننده حداقل مربعات پارامترهـاي پروفایـل نیـز بـهصورت زیر محاسبه میشود:
βˆ j  (XX Xy )1  jدر فاز 2، آماره 2T داراي توزیع مربـع کـاي بـا 1k درج ه آزادي اس ت. 1k تعـداد پ ارامتره اي پروفای ل چندجملهاي درجه k است. بنابراین حد کنتـرل بـالا بـراياین آماره به صورت زیر است:
UCL x k21,

2 – مدل پروفایل چندجملهاي درجه دو و محاسبه تخمین زننده حداکثر درست نمایی نقطه تغییر تدریجی
2 -1 – پروفایل چندجملهاي درجه 2
مدل پروفایل در نظر گرفته شـ ده در ایـن مقالـه، یـکپروفایل چندجملهاي درجه 2 است که رابطه آن به صورت زیر تعریف میشود:
y    01x  2x 2  (4)
به طوريکه (2 ~ N(0,، همچنین 2 و پـارامتر -هاي 01 ، و 2در فاز 2 که در این مقاله مد نظر قـرارمی گیرد ،مقادیري معلوم هستند.

2 -2 – محاسبه تخمین زننده حداکثر درست نمایی نقطه تغییر تدریجی
در این بخش، شماره هر نمونـه بـا نمـادj نشـان دادهمیشود. پروفایل چندجملـه اي تحـت کنتـرل، مشـاهداتمستقل دارد که از توزیع نرمال با پارامترهـاي (2Xi β,)پی روي م یکنن د، بن ابراین تـابع چگ الی احتم ال ایـن مشاهدات به این ترتیب است:
fYij (yij ) 
573024-80393

(y Xij  iβ) .( yij X βi ) (5)
1 .e
71057-29351

 2
به طوري که در رابطه (5)، yijنشان دهنـده مشـاهدهسطح iام از نمونه jام،β بردار پارامترهاي مدل و مـاتریس
X ش امل مق ادیر ثاب ت متغی ره اي مس تقل اس ت.xi نشان دهنده سطرiام ماتریسXاسـت . پـس از مـدتی و درنمونه نامعلوم که به عنوان نقطه تغییر شناخته میشـود،فرایند از حالت تحت کنتـرل خـارج شـده و بـردارβ بـهصورت رابطه (6) تغییر مـی کنـد و تـا زمـانی کـه نمـودارکنترل، هشداري مبنی بـر وقـوع حالـت خـارج از کنتـرلصادر نکرده است، در این حالت باقی میماند:
(6) βj  β k( j ) for j   1 2, ,…, ,Tبه طوريکهk بردار شیب تغییرات است. براي برآورد پارامترهاي مجهول، از رویکرد حداکثر درست نمایی استفاده شده است. تابع درست نمایی مدل، طبق رابطه (7) محاسبه می شود:
333375-17503

L(,kY )
561022146484

M  n 1 .e(y Xij  iβ y Xβ).( ij  i ) j 1 1i  2
946404-106544Tn1[y Xij  iβ Xk i (j)].[ y Xβ Xkij  i  i (j)]
 .e
530923-86139

j  1 1i  2

(7)
ماکزیمم درست نمایی ، مقداري از است که تابع بالا را ماکزیمم میکند. با گرفتن لگاریتم طبیعی از تابع بالا داریم:
331089-17589

L(,kY )
 n
M (y Xij  iβ y Xβ).(ij  i )
2 j 1 1i
12877839238

 12 j T in [y Xij  iβ Xk i (j )].[ y Xβ Xkij  i  i (j )]
2 1 1

(8)
در این عبارت k و نامعلوم هستند و باید k و  را طوري برآورد کنیم تا ماکزیمم عبارت بالا به دست آیـد .
این تخمینها را با ˆk و ˆنشان میدهـیم . مشـتق جزئـیرابطه بالا نسبت به بردار مجهول k برابر است با:
6210372968

ln L1 T(j ) [X y Xj  β Xkj (j )]
k  22 j   1
(9)
با مساوي صفر قرار دادن رابطه بالا، رابطه (10) حاصل می شود که از حل آن برحسب بردار k، تخمین زننده حداکثر درست نمایی بردار شیب تغییرات طبق رابطه (11) حاصل خواهد شد:
T( j )X y X( j  βj ) T( j )2XXk0
j   1j   1
(10)
بنابراین تخمین حداکثر درست نمایی بـردار k از حـلرابطه ذکرشده بر حسب k طبق رابطه زیر محاسبه شـدهاست:
(XX )1 T X( j )(y j  Xβ)
kˆ 

j  T1
 ( j )2
j   1
(11)
در نهایــت، تخمــین زننــده حــداکثر درســت نمــایی پیشنهادي نقطه تغییر به این ترتیب تعریف میشود :
79571973119

 1 tn (y  X β )
 22 j  1 1ijij ) .(y j X βij 
ˆ  arg max0 t T 212 j t  T 1 1in ([y Xj i β Xkj i .( j t)]
.[y j  Xi β X kj i .( j t )])
(12)

3 – ارزیابی عملکرد تخمین زننده پیشنهادي نقطه تغییر تدریجی
ب راي بررس ی عملک رد تخمـین زننـده پیش نهادي، از
10هزار بار تکرار شبیه سازي مونت کارلو استفاده مـی شـود .
در هر تکرار پـس از اینکـه نمـودار کنتـرل 2T-هتلینـگهشدار خارج از کنترل بودن فرایند را بدهد، تخمین زننـده پیشنهادي براي تخمین نقطه تغییر تدریجی، استفاده می-شود. براي انجام شبیه سازيها، نمونه دهم به عنـوان نقطـهتغییر در نظر گرفته شده است، بنابراین باید 10 نمونه اول در هر تکرار تحت کنترل باشد. بدین منظور نحوه برخـوردبا هشدارهاي اشتباه4 قبل از نمونه دهم بدین صورت است که اگر نمونهاي خارج از کنترل باشد، آن نمونه حذف می-شود و نمونه دیگري جایگزین آن میشود.
پروفایل تحـت کنتـرل مـورد اسـتفاده در ایـن مقالـه، عبارت است از:
yij  3 2x  x2 ij (13)
 3
در نتیجــــه بــــردار 2β    اســــت. همچنــــین
  1
( ,01)ij ~ Nو مقادیرX ثابت و فاصـله هـاي آن مسـاوي بوده و برابر با 10،9،8،7،6،5،4،3،2،1 هستند کـه در ابتـدابراي کاهش اثر هم خطی چندگانه، میـانگین مقـادیرx از آن ها کم شده و تبـدیل بـه مقـادیر5/4-،5/3-،5/2-،5/1-،5/0-،5/0، 5/1، 5/2، 5/3، 5/4 شده اند. نـوع شـیفتی کـهدر این مقاله مورد بررسی قرار میگیـرد ، شـیفت تـدریجیدر پارامترهاي مـدل و یـا همـان ضـرایب پروفایـل تحـتکنترل مورد نظر است. همچنین فرض میشود تغییـري درانحراف معیار فرایند رخ نمیدهد. به این دلیل که محدوده بررسی مقاله، فاز 2 پروفایلهاي چندجملهاي است. فـرض میشود که پارامترهاي اولیه فرایند معلوم هستند.

نتایج شبیه سازي ها، با تغییرات همزمان و منفرد در پارامتر هاي مدل پروفایل چندجملهاي مورد نظر در جداول (1) تا (8) خلاصه شدهاند. جداول (1)، (3)، (5) و (7) به ترتیب درستی عملکرد تخمین زننده پیشنهادي را با تغییرات همزمان و تغییرات تکی در پارامترهاي اول، دوم و سوم پروفایل مورد نظر نشان میدهند. در این جداول ،انحراف استاندارد تخمینها داخل پرانتز گزارش شدهاند.
همچنین جداول (2)، (4)، (6) و (8) به ترتیب دقت عملکرد تخمین زننده پیشنهادي را با تغییرات همزمان و تغییرات تکی در پارامترهاي اول، دوم و سوم پروفایل مورد نظر نشان میدهند.
جدول 1: درستی تخمین زننده حداکثر درست نمایی تغییرات تدریجی براي پروفایل چندجمله اي درجه 2 با تغییرات همزمان در
پارامترهاي مدل10و 10000N 
 k1
  k  k2
 
  k3 0001.
0001. 0001. 0002.
0002. 0002. 0003.
0003. 0003. 0005.
0005. 0005. 001. 
001.  
001. 
E(T) 48/3511 33/6831 27/7514 22/2085 17/2852
ARLˆ 38/3511 23/6831 17/7514 12/2085 7/2852

ˆ 15/7504
(0/1060) 13/2061
(0/0703) 12/1970
(0/0556) 11/3592
(0/0406) 10/6291
(0/0265)

جدول 2: دقت تخمین زننده حداکثر درست نمایی تغییرات تدریجی براي پروفایل چندجمله اي درجه 2 با تغییرات همزمان در
پارامتر هاي مدل10و 10000N 
 k1
  k  k2
 
  k3 0001.
0001. 0001. 0002.
0002. 0002. 0003.
0003. 0003. 0005.
0005. 0005. 001. 
001.  
001. 
279082-29320

pˆ  ˆ 0
0/0416 0/0606 0/0783 0/1141 0/1801
277939-28632

pˆ  ˆ 1
0/1167 0/1782 0/2286 0/3049 0/4697
267081-28681

pˆ  ˆ  3
0/2269 0/3889 0/4699 0/6058 0/8211
267081-28680

pˆ  ˆ  5
0/3849 0/5477 0/6391 0/7914 0/9566
267081-28681

pˆ  ˆ  7
0/4938 0/6730 0/7653 0/9077 0/9849
265747-26704

pˆ  ˆ10 0/6983 0/8440 0/9258 0/9951 1/0000

جدول 3: درستی تخمین زننده حداکثر درست نمایی تغییرات تدریجی براي پروفایل چندجمله اي درجه 2 با تغییرات در پارامتر اول مدل
N 10000 و10
 k1
  k  k2
 
  k3  01.
 0
    0  02.
 0
    0  03.
 0
    0  05.
 0
    0  1
 0     0
E(T) 18/3851 14/9602 13/6810 12/9568 11/5478
ARLˆ 8/3851 4/9602 3/6810 2/9568 1/5478

ˆ 10/8394
(0/0297) 10/3346
(0/0196) 10/0998
(0/0159) 9/9837
(0/0139) 9/8205
(0/0083)

جدول 4: دقت تخمین زننده حداکثر درستنمایی تغییرات تدریجی براي پروفایل چندجمله اي درجه 2 با تغییرات در پارامتر اول مدل
N 10000 و10
 k1
  k  k2
 
  k3  01.
 0
    0  02.
 0
    0  03.
 0
    0  05.
 0
    0  1
 0     0
279082-29320

pˆ  ˆ 0
0/1537 0/2540 0/3503 0/4346 0/7963
277940-28632

pˆ  ˆ 1
0/4089 0/6265 0/7670 0/8571 0/9593
267081-28680

pˆ  ˆ  3
0/7595 0/9432 0/9692 0/9760 0/9895
267081-28681

pˆ  ˆ  5
0/9267 0/9836 0/9876 0/9895 0/9956
267081-28680



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید