نشریه تخصصی مهندسی صنایع، دوره 47، شماره 1، فروردین ماه 1392، از صفحه 69 تا 80 69 توسعه مدل کنترل موجودي قطعی براي کالاهاي فسادپذیر با در نظر
گرفتن کمبود پسافت و تخفیف مقداري

محمد مهدوي مزده*1، ارشیا ریاحی نظري2 و عطااﷲ طالعیزاده3
استادیار دانشکده مهندسی صنایع- دانشگاه علم و صنعت ایران
کارشناس ارشد مهندسی صنایع- دانشگاه علم و صنعت ایران
استادیار دانشکده مهندسی صنایع – پردیس دانشکدههاي فنی- دانشگاه تهران
(تاریخ دریافت 7/11/91، تاریخ دریافت روایت اصلاح شده 24/11/91، تاریخ تصویب 24/1/92 )

چکیده
در اکثر مدل هاي کنترل موجودي فرض می شود که اقلام در زمان نامحدود می توانند براي برآورده کردن تقاضاي آینده ذخیره شوند و کیفیت و کمیت آن ها در طول زمان تغییر نمی کند. با این وجود انواع خاصی از محصولات وجود دارند که در طول زمان رو به زوال رفته و یا غیر قابل استفاده می شوند (مانند مواد غذایی، الکل، دارو و…). در نتیجه چنانچه نرخ زوال مقدار قابل توجهی باشد، اثر آن را نمی توان نادیده گرفت. از طرفی دیگر در دنیاي واقعی در بسیاري از مواقع قیمت تمام شده یک محصول مستقل از تعداد محصول خریداري شده نیست. بدین معنا که با بالا رفتن تعداد سفارش قیمت کمتري براي هر واحد کالا پرداخت می شود. در نظر گرفتن این تخفیفات مقداري در مدلها باعث کارامدتر شدن مدل و بالا رفتن قابلیت استفاده از مدل در دنیاي واقعی می شود. در این مقاله به بررسی مدل کنترل موجودي براي کالاهاي فسادپذیر با در نظر گرفتن تخفیف مقداري از سوي فروشنده و همچنین مجاز بودن کمبود، زمانی که نرخ تقاضا به صورت ثابت سالیانه می-باشد، میپردازیم. در این مدل سیستم موجودي تک کالایی، نرخ فساد ثابت، کمبود به صورت پسافت کامل و مدت زمان تحویل کالا نیز برابر صفر است. پس از مدل سازي مسئله و بدست آوردن تابع هدف مدل ابتدا روش حل دقیق و الگوریتم ساده و کارآمدي جهت یافتن مقادیر بهینه ارائه میشود، سپس براي تشریح مدل و الگوریتم به ارائه مثال عددي و آنالیز حساسیت مدل میپردازیم.

واژه هاي کلیدي: مدل مقدار سفارش اقتصادي، کالاي فسادپذیر، تخفیف مقداري، تخفیف کلی، کمبود

مقدمه Email: [email protected] ،73225098 نویسنده مسئول: تلفن 73225002، فکس *

در مدل سازي ریاضی، مسائل کنترل موجودي که با مسئله کلاسیک میزان سفارش اقتصادي هریس1 [1] شروع شد، این فرض در نظر گرفته میشد که محصولات عمر نامتناهی دارند. در نظر گرفتن فسادپذیري کالا براي اولین بار توسط ویتین2 [2] به صورت از مدافتادگی کالا پس از مدت زمان مشخص، مطرح شد. حدود یک دهه قبل گویال3 و گیري4 [3] به دسته بندي مدلهاي کنترل موجودي بر مبناي فسادپذیري پرداختند. ایشان با بررسی 130 منبع، مدلهاي کنترل موجودي را بر اساس وجود یا نبود از مدافتادگی و فسادپذیري تقسیم بندي کردند. از جمله مقالات جامعی که در زمینه فسادپذیري محصولات انجام شده است، میتوان به کار باکر5 و همکاران [4] اشاره کرد. در این مقاله به مرور ادبیات مقالات مرتبط با مبحث فسادپذیري از سال 2001 تا کنون با در نظر گرفتن فرضیاتی مانند تخفیف در قیمت، کمبود پسافت و فروش از دست رفته، تک محصولی یا چند محصولی بودن و پرداخت هاي معوقه پرداخته شده است. از دیگر مقالاتی که در آن، به در نظر گرفتن فرضیه فسادپذیري محصولات پرداخته شده است، می توان به کارهاي جولاي و همکاران [5] در سال 1384، میرزازاده و همکاران [6] و همچنین جولاي و همکاران [7] در سال 2011 اشاره کرد.
تخفیف در قیمت به شکلهاي مختلفی میتواند ارائه شود که از مهم ترین و کارآمدترین آنها میتوان به تخفیف مقداري اشاره کرد. کروتر6 [8] در سال 1964 میلادي به انتشار رابطه میان قیمت و اندازه سفارشهاي گوناگون با هدف داشتن اقتصادي روان و مؤثر براي فروشنده پرداخت. از جمله مدلهاي تعیین میزان سفارش اقتصادي7 اولیه که در آنها تخفیف در قیمت نیز در نظر گرفته شده است، میتوان به مقالات لو8 و کیو9 [9]، باستین10 [10]، چاو11 [11]، مارتین12 [12] و … اشاره کرد. از جمله مقالات جامعی که در زمینه تخفیف در قیمت محصولات انجام شده است، میتوان به کار شاه13 و دیکسیت14 [13] در سال 2005 اشاره کرد. در این مقاله به مرور ادبیات مقالات مرتبط با مبحث تخفیف در قیمت شامل تخفیف کلی، افزایشی، فرصت استثنایی خرید و…
پرداخته شده است.
علاوه بر فسادپذیري و تخفیف در قیمت، از دیگر فرضیاتی که در مدلهاي کنترل موجودي پر اهمیت است ،میتوان به مجاز و یا غیر مجاز بودن کمبود اشاره کرد. از جمله مقالات اولیه که به در نظر گرفتن کمبود مجاز در مسائل کنترل موجودي پرداخت، میتوان به مقاله زیپکین15 [14] در سال 2000 اشاره کرد. این فرض در مقالات بسیاري به کار گرفته شده است. پنتیکو16 و دریک17 [15] در سال 2011 به مرور ادبیات مقالات مرتبط با مبحث کمبود در 40 سال گذشته با در نظر گرفتن فرضیاتی مانند قیمت گذاري، فساد پذیري، تقاضاي وابسته به زمان و سطح موجودي و تخفیف مقداري پرداختهاند.
مقالاتی که تا کنون به بررسی سه فرض اساسی فسادپذیري، تخفیف در قیمت و کمبود به طور همزمان پرداختهاند، بسیار محدود بوده و از آن جمله میتوان به کارهاي چان18 و لین19 [16] در سال 2001، مون20 و همکاران [17] در سال 2005، هو21 [18] در سال 2006 و داي22 و همکاران [19] در سال 2007 اشاره کرد. لازم به ذکر است که در همه این مقالات، تخفیف به کار گرفته شده به صورت درصدي ثابت در سالهاي مختلف و در حقیقت تخفیف در قیمت بر اساس زمانهاي گوناگون و با در نظر گرفتن ارزش زمانی پول بوده است و در هیچ یک از این مقالات، به در نظر گرفتن تخفیف مقداري براي خریدار و ارائه قیمتهاي خرید مختلف بر اساس حجم سفارش صادر شده، پرداخته نشده است.
در این کار تحقیقاتی، مدل کنترل موجودي، تعیین میزان سفارش اقتصادي با در نظر گرفتن فسادپذیري براي محصولات و ارائه تخفیف مقداري از سوي فروشنده و همچنین مجاز بودن کمبود براي تقاضاي ثابت توسعه داده شده است. با توجه به مطالعات انجام گرفته، سه مشخصه فسادپذیر بودن، تخفیف مقداري در قیمت و کمبود از مشخصههاي قابل توجه در مبحث کنترل تولید و موجوديها هستند که با مرور مطالعات قبلی تا کنون، مدلی با در نظر گرفتن این سه مشخصه به طور همزمان و ارائه راه حل دقیق ارائه نشده است. ابتدا در قسمت 2 به تعریف مسئله پرداخته و سپس در قسمت 3 به معرفی پارامترها و متغیرهاي تصمیم و همچنین فرضیات مسئله میپردازیم. در ادامه با معرفی همه هزینههاي مسئله به مدلسازي و به دست آوردن تابع هدف مدل که برابر با مجموع هزینههاي کنترل موجودي است، میپردازیم و پس از اثبات تحدب تابع هدف مدل، روش حل دقیق و الگوریتم کارآمدي براي به دست آوردن مقادیر بهینه متغیرهاي تصمیم مسئله ارائه شده است. در بخش 4، مثال عددي و تحلیل حساسیت براي مسئله ارائه شده است و در نهایت در بخش 5 به جمع بندي موضوع و نتیجه گیري پرداخته شده است.

تعریف مسئله
در این قسمت، مدل کنترل موجودي سفارش اقتصادي ساده براي حالتی که محصولات با گذشت زمان با نرخی ثابت فاسد میشوند، توسعه داده شده است. در این مسئله کمبود مجاز بوده و به صورت کامل پسافت میشود. همچنین نوعی از تخفیف مقداري از سوي فروشنده پیشنهاد میشود، به این صورت که با توجه به میزان سفارش، قیمتهاي خرید متفاوتی براي خریدار در نظر گرفته شده است. لازم به ذکر است که در این مدل، تقاضا براي محصول، مشخص و مقداري ثابت در نظر گرفته شده است. سایر مفروضات مسئله در ادامه بیان شده است.

همه پارامترهاي مدل قطعی هستند.
سیستم موجودي ،تک کالایی و بدون محدودیت است.
مدت زمان تحویل برابر با صفر است.
افق زمانی، نامحدود در نظر گرفته می شود.
تقاضا در طول زمان ثابت بوده و مقدار آن برابر با D است.
کمبود مجاز بوده و به صورت کامل پسافت میشود
(همه تقاضايِ با کمبود مواجه شده، قابل جبران است).
کالاي موجود در انبار در طول زمان با نرخ ثابت فاسد می شود و نرخ فساد برابر با کسري ثابت از موجودي در دست در هر لحظه از زمان است.
با توجه به حجم سفارشات، از سوي فروشنده، تخفیف در قیمت ارائه میشود که به صورت تخفیف مقداري و از نوع کلی است.

مدل سازي
نمادها و متغیرهاي تصمیم
نمادهاي استفاده شده در مدلسازي مسئله به شرح زیر هستند:
A: هزینه هر بار سفارش کالا D: نرخ تقاضاي کالا در واحد زمان c: هزینه خرید هر واحد کالا ()I t: سطح موجودي انبار در زمان t i: نرخ بهره دریافتی براي هر واحد پولی در واحد زمان
(که در این صورت هزینه نگهداري هر واحد محصول در واحد زمان به صورت ic خواهد بود)
: ضریب فساد موجودي در دست در واحد زمان (
(0  1
: هزینه کمبود براي هر واحد کالا در واحد زمان cd: هزینه فساد هر واحد کالا T: طول هر دوره سفارشدهی (متغیر تصمیم)
1t: زمانی که موجودي کالا در انبار به صفر میرسد
(متغیر تصمیم) Q: میزان سفارش در هر بار سفارشدهی (متغیر تصمیم) j: اندیس شمارنده دستههاي تخفیف در قیمت (
j 1,2,3,…,n ) Qwd: میزان سفارش در هر بار سفارشدهی بدون در نظر گرفتن تخفیف
qj: نقاط شکست تخفیف (j 1,2,3,…,n )
Ib: بیشترین مقدار مواجهه با کمبود در هر دوره Im: بیشترین مقدار سطح موجودي در هر دوره oTC: مجموع هزینه سفارشدهی در واحد زمان TCh: مجموع هزینه نگهداري در واحد زمان
TCs: مجموع هزینه کمبود در واحد زمان
TCp: مجموع هزینه خرید در واحد زمان TCd: مجموع هزینه فساد در واحد زمان
TC: مجموع هزینههاي کنترل موجوديها در واحد زمان مدلسازي تابع هدف
همان طور که در قسمت قبل نیز بیان شد، ()I t نشان دهنده سطح موجودي در دست در زمان t است. بدیهی است که تغییرات موجودي تحت تأثیر دو عامل اساسی تقاضا و فساد است. از آنجایی که فساد فقط زمانی رخ میدهد که میزان موجودي در دست مثبت باشد، در بازه زمانی 0,t1 کاهش موجودي ناشی از هر دو عامل تقاضا و فساد و در بازه زمانی t T1,  کاهش موجودي فقظ ناشی از تقاضاي کالا خواهد بود. این مسئله در نمودار کنترل موجودي شکل (1) نیز به وضوح قابل رویت است.

1 شکل 1: نمودار کنترل موجودي براي کالاي فسادپذیر، کمبود پس افت و تخفیف براي تقاضاي ثابت

براي محاسبه هزینه هاي کنترل تولید و موجودي، ابتدا به محاسبه تابع موجودي در دست بر حسب زمان می پردازیم:
dI t( )
162305-27595

dI tdt( ) I t( ) D0 ttt1 (1)
 dt Dt1  T

اثبات می شود که حل معادله دیفرانسیل خطی()y  p x y( )  q x به صورت زیر خواهد بود:
y e p x dx( )q x e( ) p x dx( ) dx (2)
که در آن y تابعی از x است وy برابر است با dy

و
dxهمچنین ()p x و ()q x نیز توابعی دلخواه ازx هستند. با توجه به روابط ذکرشده براي به دست آوردن
()I t خواهیم داشت:
( )  edt D e dtdt0  tt1
I tDdtt1  tT (3)

و در نهایت معادله میزان موجودي در دست در زمان t به صورت زیر خواهد بود:
D (t1t)
I t( )

 e10 tt1 (4)
D t( t1)t1  tT
با قرار دادن مقادیر 0t  و t  T در معادله (4) به ترتیب مقادیر Im و Ib به دست می آیند:
Im  I(0) 

D et1 1 (5)
 Ib  I T( )D T( t1) (6)
همچنین میزان سفارش دهی نیز از رابطه زیر قابل محاسبه است:
5602614342

Q  ImIb (7)
لازم به ذکر است که علامت Ib منفی است (براي نشان دادن میزان کمبود) و براي محاسبه میزان سفارش(
Q) قدر مطلق آن وارد محاسبات شده است:
D t1
Q 

e  1 D t( 1 T) (8)

در ادامه به محاسبه هزینه هاي کنترل تولید و موجودي می پردازیم.

هزینه ثابت سفارش دهی
با توجه به اینکه در هر دوره فقط یک بار سفارش انجام می گیرد و هزینه ثابتی دارد، (A ) مجموع هزینه سفارش دهی در واحد زمان از رابطه زیر محاسبه می شود:
TCo 

A (9)
Tهزینه نگهداري موجودي
براي محاسبه هزینه نگهداري، ابتدا نیاز است میزان متوسط موجودي در سیکل (I

) محاسبه شود. از آنجایی که فقط در بازه زمانی (1t,0) سطح موجودي در دست در سیستم، مثبت است و موجودي در سیستم نگهداري می شود و در بازه زمانی ( ,1t T) موجودي براي نگهداري وجود ندارد، میزان متوسط موجودي به این ترتیب محاسبه خواهد شد:

73971257938

I  t1 I t dt( )  t01 D et1t 1dt 

D2 et1 t1 1 (10)
0
با توجه به مقدار متوسط موجودي (I ) محاسبه شده ،هزینه نگهداري کل به صورت زیر محاسبه می شود:
449199-90094

TCh  icI  icD2 et1  t1 1
TT
با توجه به کوچک بودن مقدار  می توان از بسط تیلور
1714500-77110به صورت 2(ek   1 k(k استفاده کرد.

بنابراین خواهیم داشت:
TCh 

TicD2 1  t1 12 2 2t1  t1  1

icDt2T12

هزینه مواجهه با کمبود
براي محاسبه هزینه کمبود، ابتدا نیاز است میزان متوسط کمبود در سیکل (B

) محاسبه شود. از آنجایی که در بازه زمانی (1t,0) سطح موجودي در دست در سیستم، مثبت است، در این بازه با کمبود مواجه نمی شویم و فقط در بازه زمانی ( ,1t T) تقاضا با کمبود مواجه می شود. بنابراین براي محاسبه متوسط کمبود در دوره، به صورت زیر عمل می کنیم:
95250-16913

2(1B Tt1 I t dt( )   tT1 D t( t1) dt 

D T( 2t با توجه به مقدار متوسط کمبود در دوره (B ) محاسبه شده، هزینه کمبود کل در واحد زمان به این ترتیب محاسبه می شود:
431863-58357

TCs  B  D T( t1)2
T2T

هزینه خرید کالا
با توجه به میزان سفارش در دوره (Q ) محاسبه شده در رابطه (8)، مقدار کل هزینه خرید در واحد زمان به صورت زیر محاسبه می شود:
40805160706

TCp  QcT  cDT 1et1  1 (T t1)
با توجه به کوچک بودن مقدار ، می توان از بسط
1421892-76881تیلور به صورت 2(ek   1 k(k استفاده

کرد. بنابراین خواهیم داشت:
33547150258

180575050258

TCp  cDT 11 t1  12 2 2t1  1 T t1 cDT 2t12 T

هزینه فساد کالا
براي محاسبه هزینه فساد در هر دوره، ابتدا لازم است میزان محصولی که در هر دوره فاسد می شود را به طور متوسط محاسبه کنیم. از آنجایی که در هر لحظه مشخص زمانی مانند t، میزان مشخصی از موجودي در دست (یعنی نسبت مشخصی از موجودي در دست( )) فاسد می شود، بنابراین در هر لحظه از دوره، میزان فساد برابر با ()I t خواهد بود و مقدار کالاي فاسد شده در کل دوره به این شکل محاسبه خواهد شد:
t1
Deteriorated goods percycle  I t dt( )
0
t01

D et1t 1dt  Dt01 et1t 1dt
t
 1 t1t 1 11 t1 
198234319853

 D

et0  D   t1 e 
Deteriorated goods percycle 

Det1  Dt1 D

با توجه به مقدار محاسبه شده براي میزان کالاي فاسد شده در هر دوره، مقدار کل هزینه فساد در واحد زمان به صورت زیر محاسبه می شود:
39414518689

TCd  Det1  Dt1 Dcd
T
با توجه به کوچک بودن مقدار ، می توان از بسط
1424940-76882تیلور به صورت 2(ek   1 k(k استفاده

کردد. بنابراین خواهیم داشت:
D1
37947610242

TCd  1  t1 2 2 2t1  t1 1cd  D c t d 12
T2T
بنابراین با توجه به هزینه هاي محاسبه شده بالا، کل هزینه کنترل تولید و موجودي به صورت زیر محاسبه می شود:
31165866873



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید