نشریه تخصصی مهندسی صنایع، دوره 47، شماره 1، فروردین ماه 1392، از صفحه 55 تا 68 55 مسیریابی روبات بازویی با استفاده از برنامهریزي غیرخطی
عدد صحیح مختلط

الیپس مسیحی*1 و امیرعباس ابوئی مهریزي2
استادیار بخش مهندسی صنایع- دانشگاه تربیت مدرس
دانشآموخته کارشناسی ارشد مهندسی صنایع دانشگاه تربیت مدرس و مربی بخش مهندسی صنایع مجتمع آموزش عالی بم
(تاریخ دریافت 9/2/91، تاریخ دریافت روایت اصلاح شده 1/7/91، تاریخ تصویب 27/12/91 )

چکیده
در این مقاله، روشی براي برنامه ریزي حرکت روبات بازویی مسطح در محیط با مانع با استفاده از مدلسازي ریاضی ارائه شده است، به طوري که حین حرکت روبات از پیکربندي اولیه به سمت نقطه هدف، لینکهاي آن با موانع برخورد نداشته باشند. پس از ساختن فضاي کاري ،کوتاه ترین مسیر حرکت از نقطه اولیه عملکننده نهایی به هدف مورد نظر، به کمک گراف دیدنگار تعمیم یافته، ایجاد شده و به نقاط زیرهدف تقسیم میشود که باید به ترتیب توسط عملکننده نهایی پیموده شوند. سپس یک مدل ریاضی از نوع برنامهریزي غیرخطی عدد صحیح مختلط (MINLP) با در نظر گرفتن تابع هدف کمینهسازي، فاصله عملکننده نهایی تا زیرهدفها به صورت متوالی حل شده و زاویه هر لینک بهگونهاي تعیین می شود که لینک ها در موانع قرار نگیرند. براي بالا بردن ضریب ایمنی در برخورد با موانع، محیط موانع با افزودن حاشیهاي بزرگ تر در نظر گرفته می شوند. همچنین روش ذکرشده براي کاهش متغیرهاي صفر و یک و تعداد محدودیت ها و در نتیجه کاهش زمان حل، بهبود داده شده است.

واژه هاي کلیدي: روبات بازویی، برنامه ریزي حرکت، برنامه ریزي ریاضی، مدل غیرخطی عدد صحیح مختلط، گراف دیدنگار

مقدمه
یکی از مهم ترین وظایف روبات متحرك، برنامهریزي حرکت آن است که عبارت است از حل یک مسئله تصمیمگیري براي تعیین اینکه روبات چگونه می تواند از نقطه شروع تا نقطه هدف حرکت کند، در حالی که با موانع ثابت و متحرك موجود در محیط برخورد نداشته باشد. با استفاده از مدل هاي مختلف تحقیق در عملیات مانند برنامه ریزي خطی، برنامه ریزي اعداد صحیح ،برنامه ریزي پویا و غیره، می توان محدودیت هاي حرکتی و مسائل مربوط به کنترل روبات را فرمول بندي کرد و به کمک آن حل بهینه مسئله را با توجه به آن شرایط به دست آورد.
مسئله برنامه ریزي حرکت روبات از نظر پیچیدگی به
Email: [email protected] 82883381 :نویسنده مسئول: تلفن: 82884939 فکس *

عنوان یک مسئله PSPACE-hard و NP-complete شناخته می شود[1] که این پیچیدگی، مانع توسعه الگوریتم هاي کاربردي شده است [2]. یکی از انواع روبات ها، روبات هاي بازویی است که برنامه ریزي حرکت این نوع روبات ها در کاربردهاي دنیاي واقعی مانند صنایع اتومبیل سازي، الکترونیک و هوافضا اهمیت زیادي دارد. یک روبات بازویی، وسیلهاي مکانیکی است که از لینک ها و مفصل هاي متصل به هم ساخته شده است (درجات آزادي) و براي انجام کارهاي اتوماتیک با استفاده از عمل کننده نهایی1 خود حرکت می کند. با نصب عمل کننده هاي نهایی مختلف می توان اعمال جوشکاري ،رنگ کاري، اتوکشی، مونتاژ، برداشتن و قرار دادن، روي هم چیدن ( پالتگذاري) و غیره را انجام داد.
کار اصلی در کنترل روباتهاي بازویی، تعیین مسیري از یک موقعیت اولیه عملکننده نهایی به یک موقعیت (یا پیکربندي) هدف مشخص است. بنابراین برنامهریزي حرکت براي روبات بازویی به معنی طراحی مسیر حرکت عملکننده نهایی بین نقاط طراحی شده در سطح کار است؛ در حالی که با موانع برخورد نداشته باشد. تابع هدف این گونه مسائل میتواند کوتاه ترین زمان، کوتاهترین مسیر و یا مسیري با کمترین انرژي مصرفی براي روبات در نظر گرفته شود.
رویکردهاي پایهاي برنامه ریزي حرکت عبارتند از خطمسیر2، تجزیه سلولی3، میدان پتانسیل4 و برنامهریزي ریاضی که در این بخش به مرور مقالاتی که از رویکرد برنامهریزي ریاضی استفاده کردهاند، پرداخته میشود.
در سال 1986، شین و مکی [3] راه حلی براي مسئله مینیمم کردن هزینه حرکت یک روبات بازویی در میان مسیر معین هندسی با توجه به محدودیتهاي گشتاور/ نیرو، در نظر گرفتن اتصالات و دینامیک غیرخطی روبات بازویی ارائه کرده اند که در آن از برنامه ریزي پویا براي پیدا کردن موقعیت، سرعت، شتاب و گشتاور استفاده شده است.
مقاله چتیبی و همکاران [4] در سال 2004 در مورد مسئله برنامهریزي خط سیر با کمترین هزینه براي روباتهاي بازویی بحث کرده است، که شامل وصل دو نقطه در فضاي عملیاتی با در نظر گرفتن معادلات دینامیکی حرکت و محدود کردن موقعیت هاي مفصل ،سرعت، تغییر شتاب و گشتاورها است. مسئله کلی کنترل بهینه توسط یک مدل منحنی مهار شده سه بعدي توسط ارزیابی هاي موقت مفصل به یک مسئله بهینه سازي غیرخطی با محدودیت تبدیل شده و سپس به کمک روش برنامهریزي درجه دو متوالی حل می شود.
ویلیامز و بلکمور [5] با مطرح کردن مسئله برنامه ریزي حرکت روبات در حضور موانع به عنوان برنامهریزي انفصالی5، روشی را ارائه کردهاند که به طور کامل در فضاي کاري روبات بازویی برنامهریزي میشود، که این کار باعث کاهش محاسبات فرآیند نگاشت موانع از فضاي کاري به فضاي پیکربندي میشود.
در مقاله گوآنگیو و همکاران [6] یک رویکرد سیستماتیک براي برنامه ریزي خط سیر بهینه با وجود تکینهاي6 سینماتیکی و ردیابی دقیق مسیر مطلوب عمل کننده نهایی ارائه شده است که از برنامه ریزي پویا براي حصول به بهینگی استفاده شده است.
یکی از مباحث مهم در برنامه ریزي و کنترل بازوهاي با تزاید7، جلوگیري از برخورد بهنگام با موانع است[7]. در این مقاله جنبه هاي الگوریتمی و محاسباتی معیار/ فرمولاسیون بر مبناي نامعادله براي جلوگیري از برخورد با موانع روبات بازویی PA10 ارائه شده است. فرمولاسیون به عنوان یک مسئله برنامهریزي درجه دو8 (QP) یکپارچه می شود.
در سال 2007، چوي و امیر [8] الگوریتمی مبتنی بر برنامه ریزي پویا براي مسیریابی روبات بازویی در فضاي دو بعدي با فرض برخورد نکردن روبات با خود ارائه کردند.
این روش، توپولوژي بازو و موانع را براي عامل فضاي جستجو و کاهش پیچیدگی مسئله برنامه ریزي به کار می برد.
در مقاله دیگري، ژانگ و همکاران [9] در سال 2008، یک شبکه عصبی اولیه -دوگان را بر پایه نامعادلات خطی تغییرپذیر9 براي برنامه ریزي حرکت تکراري بهنگام یک روبات بازویی PA10 ارائه کردند که در آن، محدودیت هاي فیزیکی مربوط به مفاصل و سرعت آنها در فرمول بندي مسئله در نظر گرفته شده است و در نهایت به عنوان یک مسئله برنامه ریزي درجه دو، بار دیگر فرمول بندي می شود.
در سال 2009، دینگ و همکاران [10] یک برنامهریز مسیر براي روبات بازویی ارائه کردند، به طوري که عمل کننده نهایی براي حرکت بین دو نقطه در فضاي کاري، از برخورد با موانع متحرك پرهیز کند. روش ارائه شده، مسئله را به یک مدل برنامه ریزي عدد صحیح مختلط با لحاظ کردن محدودیتهاي متغیر در طول زمان که ناشی از موانع متحرك میشوند، فرمول بندي میکند.
همان محققان در مقاله دیگري، یک رویکرد بهینه برنامه ریزي حرکت با استفاده از برنامهریزي خطی عدد صحیح مختلط (MILP) تعبیه شده در روش کنترل مدل پیشگویانه10(MPC) پیشنهاد کردهاند که براي برنامه ریزي حرکت روبات بازویی با موانع متحرك (مانند اپراتور) در فضاي C×T (ترکیب پیکربندي C و زمان T) به کار برده شده است. در این مقاله، هدف مینیمم سازي زمان، از شروع تا هدف، در افق پیش بینی انتخاب می شود[11].
دینگ و همکاران [12] در مقالهاي دیگر کار خود را توسعه داده و با به کارگیري خواص هندسی در مدل MILP باعث کاهش چشمگیر متغیرهاي تصمیم صفر و یک شدند. این روش باعث کاهش تکرارهاي سیمپلکس در طول حل MILP نیز میشود. آنها همچنین کاربرد روش براي دو روبات صنعتی را بررسی کردند.
روش ارائه شده در این مقاله، یک مدل برنامهریزي غیرخطی عدد صحیح مختلط11 (MINLP) است. پس از تعیین فضاي کاري روبات ،ابتدا کوتاه ترین مسیر حرکت عمل کننده نهایی از نقطه اولیه به هدف مورد نظر، به کمک روش دیدنگار تعمیم یافته، توسط نرمافزار MATLAB تولید می شود و پس از شکستن مسیر حاصلبه زیرمسیرهاي مساوي، اطلاعات به صورت مدل ریاضی قابل فهم براي نرم افزار LINGO ارسال شده و مدل براي حرکت روبات اجرا میشود. نتیجه کار بار دیگر به نرم افزار MATLAB براي به روزآوري مدل ریاضی برگردانده شده و این رفت و برگشت تا رسیدن به نقطه هدف ادامه می یابد.
مدل ریاضی، با در نظر گرفتن تابع هدف کوتاه ترین فاصله تا زیر هدف به صورت متوالی اجرا شده و زوایه هر لینک به کمک مدل به گونهاي تعیین می شود که لینک ها در موانع قرار نگیرند. براي افزایش ضریب ایمنی در برخورد موانع به اندازه حاشیه اي ایمنی بزرگ تر شده و یک گراف دیدنگار با توجه به موانع بزرگتر شده ساخته می شود. همچنین روشی براي کاهش متغیرهاي صفر و یک و تعداد محدودیت ها ارائه شده است که باعث کاهش زمان حل نیز می شود.
مفروضاتی که در این تحقیق در نظر گرفته شده ، عبارتند از:
مفصل ها از نوع چرخشی12 هستند.
لینکها قطعات مستقیم و صلبی هستند که هیچگونه خمیدگی در آنها نبوده و طول آنها ثابت است.
محیط و فضاي کاري دو بعدي و پیوسته است.
مختصات نقطه هدف مشخص است.
در فضاي کاري موانعی محدب وجود دارند که ابعاد و مکان آنها مشخص است. البته با تجزیه موانع نامحدب به نواحی محدب، میتوان مسئله را با روش ارائه شده حل کرد.
محدودیت هاي دینامیکی مثل سرعت و شتاب در نظر گرفته نمی شود.
بخشهاي مقاله به صورت زیر سازماندهی شدهاند: در بخش دوم، مدل سازي ارائه شده براي حل مسئله برنامه ریزي حرکت روبات بازویی بیان میشود. این بخش در سه زیربخش به تشریح مدل سازي سینماتیک روبات و مدلسازي حرکت روبات بازویی در فضاي بدون مانع، با یک مانع و با چند مانع میپردازد. بخش سوم، حل مدل و بهبود آن در فضاي کاري با استفاده از مرتبط کردن نرم افزارهاي MATLAB و LINGO را تشریح می کند. در این بخش، چند مثال براي نمایش برنامه ریزي حرکت روبات بازویی اجرا و نمایش داده شدهاند. در دو بخش آخر نیز نتایج محاسباتی، مقایسات و نتیجه گیري بیان می شود.

مدلسازي ریاضی روبات بازویی
در این بخش چگونگی مدلسازي ریاضی روبات بازویی بررسی می شود. پس از تشریح سینماتیک روبات ،مدل سازي در دو قسمت اصلی معرفی می شود: ابتدا مدل حرکت روبات در فضاي بدون مانع ارائه می شود، که در آن روبات سعی می کند در امتداد مسیري معین به طور متوالی و با هماهنگی منظم بین لینکها، حرکتی عاري از جابهجایی هاي ناگهانی داشته باشد. سپس به نحوه مدلسازي یک مانع در فضاي کاري و ارتباط آن با روبات بازویی پرداخته شده و شرایط قرار نگرفتن یک نقطه و نیز کل لینک داخل موانع بررسی می شوند. در انتها نیز مدل کلی ارائه شده به صورت یک مدل برنامه ریزي غیرخطی عدد صحیح مختلط معرفی و تشریح می شود.

مدل سازي سینماتیک روبات
همان گونه که بیان شد، روبات بازویی از یک سري لینکها و مفصلهایی تشکیل شده است که به صورت متوالی به یکدیگر متصل هستند. فرض می شود که مفصل ها تنها نقاطی هستند که لینکها حول آنها به چرخش در میآیند.

شکل 1: روبات بازویی دو بعدي با سه لینک

در شکل 1) یک روبات بازویی مسطح با سه لینک نشان داده شده است. مختصات پایه روبات با (0x0, y) و طول هر لینک با li نشان داده شده است. 1θ زاویه لینکاول با جهت مثبت محور x و مقادیر 2θ و 3θ به ترتیب بیانگر زوایاي بین لینک دوم و اول و لینک سوم با دوم هستند. با معلوم بودن مختصات پایه روبات، طول لینکها و مقادیر زوایاي آنها نسبت به یکدیگر، میتوان مختصات پایانی هر لینک را با استفاده از روابط قطبی سینماتیک مستقیم به دست آورد. در روابط (1) نحوه محاسبه مختصات پایانی لینک اول نشان داده شده است:
x1  x0 l1cos( )1 y1  y0 l1sin( )1 (1)
با استفاده از مختصات پایانی لینک اول روبات، میتوان مختصات پایانی لینک دوم را به دست آورد. البته باید توجه کرد که براي محاسبه مختصات قطبی لینک دوم ،زاویه مختصات باید نسبت به جهت مثبت محور x در نظر گرفته شود که مقدار آن برابر 2θ 1+θ است. در روابط (2) مختصات پایانی لینک دوم نشان داده شده است:
x2  x1l2 cos( 1  2)
 x0 l1cos(1)l2 cos( 1  2) y2  y1 l2 sin( 1  2) (2)
= y0 l1sin(1)l2 sin( 1  2)مختصات پایانی لینک سوم را نیز میتوان بر اساس مختصات پایانی لینک دوم در مختصات قطبی بیان کرد. باید توجه داشت که مقدار زاویه لینک سوم با جهت مثبت محور x برابر مجموع زوایاي سه لینک اول 3θ1 + θ2 + θ است. روابط (3) بیانگر مختصات لینک سوم روبات بازویی هستند:
3 i
x3  x0  li cos j 
i 1 j 1 i (3)
3
y3  y0  li sin j 
i 1 j 1
با توجه به روابط (3) میتوان مختصات نقاط انتهایی بازوهاي یک روبات بازویی را محاسبه کرد. در صورتی که یک روبات بازویی با N لینک باشد، مختصات انتهایی لینک N-ام را میتوان از روابط (4) به دست آورد:
N i
N  x0  li cos j 
1 j 1 i (4) N
N  y0  li sin j 
1 j 1
حرکت روبات بازویی در فضاي بدون مانع
حرکت روبات در فضاي بدون مانع، باید به گونهاي باشد که با توجه به پیکربندي اولیه روبات و نقطه هدفی که روبات باید به آن برسد، توالی منظمی از حرکات به دست آید، به طوري که روبات بتواند در هر لحظه حرکتی روان و بدون تغییر ناگهانی در پیکربندي داشته باشد. در روابط (4) مختصات لینک پایانی روبات به صورت تابعی از زوایاي تمامی لینکها بیان شده است. از این واقعیت می توان استفاده کرد و یک مدل برنامهریزي ریاضی براي حرکت روبات به نقاط دیگر بیان کرد، بدین صورت که اگر نقطه (G(xg, yg در همسایگی نقطه انتهایی روبات به عنوان نقطه هدف براي روبات در نظر گرفته شود، زوایاي لینکهاي روبات به گونهاي محاسبه شوند که فاصله نقطه انتهایی روبات با نقطه G مینیمم شود. در روابط (5) مدل ریاضی براي حداقل کردن فاصله نقطه پایانی روبات با نقطه هدف بیان شده است:
565603-67098

Min z  (x N x g )2 (y N  y g )2 Subject to :
N i
N  x0  li cos j  (5)
1  j 1  N  i 
N  y0  li sin j 
1 j 1
اکنون از روابط بالا میتوان براي یافتن حرکت روبات روي یک مسیر استفاده کرد؛ بدین صورت که مسیر به قسمتهاي کوچک تري تقسیمبندي شود و در هر مرحله روبات از حالت کنونیاش به نقطه بعدي مسیر تغییر حالت دهد. در شکل (الف) حرکت نقطه انتهایی یک روبات بازویی روي یک مسیر سینوسی نشان داده شده است. البته به دلیل غیرخطی بودن مسئله، عیب بارز این روش پراکندگی جوابها نسبت به یکدیگر هستند. شکل (ب) مثال دیگري با چهار حرکت متوالی روبات را نشان می دهد. با وجود این، نقطه پایانی روبات به هدف دست یافته است، اما در توالی حرکتها بین چهار نقطه زوایاي روبات نسبت به حالات قبلی خود تغییرات خیلی زیادي داشتهاند.

شکل 2: حرکت روبات بازویی روي مسیر سینوسی به طور نامنظم با استفاده از روابط (5)

(الف) (ب)
شکل 3: حرکت روبات بازویی روي مسیر سینوسی به طور منظم

براي حل مشکل پراکندگی زیاد جوابها، میتوان از یک محدودیت جدید که مانع از پراکنده شدن جواب نسبت به جواب قبلی میشود، استفاده کرد. با اضافه کردن رابطه (6) به دو محدودیت قبلی، مدل ریاضی مربوط به حرکت روبات بازویی در فضاي عاري از مانع کامل می شود:
96203-31685

510159-31685

  j j, j (6)
در این رابطه، j مقدار اولیه (حالت فعلی) زوایاي روبات و مقدار ε که توسط کاربر تعیین میشود، نشانگر میزان انحراف مجاز یک لینک از راستاي قبلی خود است. شکل (3)، مدل جدید حل شده مسئله شکل (2) است. در این شکلها، مقدار 10/ ε = π در نظر گرفته شده است.
همان طور که مشاهده میشود، پراکندگی جوابها نسبت به شکل قبلی از بین رفته و روبات حرکت منظمی را روي مسیر طی می کند که می تواند جواب قابل قبولی به شمار آید.
503301-26180

p x C R N n ,d R N 1 :C xd (7)
شکل 4(الف) و 4(ب) مثالهاي دیگري از حل مسئله با استفاده از مدل ارائه شده را نشان میدهند که براي آزمودن درستی مدل در حالت هاي مختلف به کار گرفته شده اند.

شکل 4: حل مثالهاي مختلف به کمک مدل

حرکت روبات بازویی در فضاي با یک مانع
تا کنون روبات بازویی در فضایی عاري از موانع، مدل سازي شده است. واضح است که در دنیاي واقعی براي آنکه یک روبات بتواند درجهاي از هوشمندي را داشته باشد، باید به طور خودکار موانعی که سر راه خود دارند را تشخیص داده و با در نظر گرفتن آنها مسیر خود را طوري انتخاب کند که با پرهیز از برخورد با موانع به نقطه هدف مورد نظر برسد. فرض بر آن است که موانع موجود سر راه روبات بازویی از قبل شناسایی شدهاند و برنامهریزي حرکت روبات در حالت غیر بهنگام انجام می پذیرد. براي تعمیم مسئله برنامهریزي حرکت روبات بازویی در حالت قبل به حالتی که موانع نیز در سر راه قرار دارند، باید موانع نیز در مدل برنامهریزي ریاضی گنجانده شوند.
براي مدلسازي موانع در فضاي کاري از روشی شبیه به کار [5] و [10] استفاده شده است. ابتدا روابط ریاضی برخورد نکردن یک نقطه واحد روي روبات بیان شده و سپس این روش براي روبات بازویی با مجموعهاي از نقاط روي لینک ها و مفاصل توسعه داده میشود.

مدل سازي برخورد نکردن یک نقطه با مانع
در شرایطی که یک نقطه بیرون از یک مانع چند وجهی واقع شود، می توان آن را به کمک محدودیتهاي عدد صحیح مختلط فرموله کرد: با فرض اینکه یک چندوجهی به عنوان مانع می تواند به صورت اشتراك N نیم فضا با بردارهاي نرمال بیرونی c1,…,c cN , j R1n و ثابتهاي مکانی d j R) d1,…,dN) بیان شود و x یک نقطه در فضاي کاري اقلیدسی n بعدي X n در نظر گرفته شود، فضاي X درون مانع می تواند به صورت رابطه (7) بیان شود:
براي اینکه یک نقطه خارج از چندوجهی قرار گیرد، باید حداقل یکی از N نامعادله بالا نقض شود. شرط مناسب براي اینکه یک نقطه بیرون از چندوجهی قرار گیرد را می توان به کمک روش M بزرگ مانند رابطه (8) بیان کرد:
C x d (b 1)M (8)
که در آن b b ( 1,…,bN )T برداري از متغیرهاي صفر و یک ({1,0}N×1 ،(b j 1=1 برداري از یک ها و M یک ثابت بزرگ (به جاي ) است. هر یک از معادلات موجود در رابطه (8) هنگامی غیرفعال می شود که bj متناظر آن مقدار صفر بگیرد و هنگامی فعال می شود که bj متناظر آن مقدار 1 بگیرد. براي اینکه نقطه اي مانند x بیرون از چندوجهی p تعیین شده توسط (7) قرار گیرد، باید حداقل یکی از N نامعادله طبق شرط زیر ارضا شود:
N
bj 1 (9)
j1
طبق معادلات (8) و (9) که مجموعهاي از محدودیت ها را براي یک مسئله بهینه سازي بیان می کنند ،تضمین می شود که هیچ حالتی مانند x (یعنی موقعیت مفصل) هرگز داخل منطقه اشغال شده توسط مانع قرار نمی گیرد. در حالتی که بیشتر از یک مانع در نظر گرفته شود، فرمولاسیون مشابهی با ماتریسهاي C و d و متغیرهاي صفر و یک (b) متناظر با آن براي هر مانع می تواند مورد استفاده قرار گرفته و به محدودیتهاي قبلی اضافه شود.

مدل سازي برخورد نکردن روبات بازویی با مانع
براي اینکه برنامه ریزي براي روبات بازویی به طور مناسب انجام گیرد، باید بدنه روبات در فضاي X بیان شود. بدین منظور نقاط محدودي روي هندسه (بدنه) روبات یعنی روي هر لینک انتخاب می شوند. فرض کنید که لینکها به صورت خطوط مستقیم بین دو مفصل مجاور تشکیل شدهاند. آنگاه نقاط روي لینکها از معادله (10) به دست میآیند:
x sj s x j (1s )x j 1 (10)
که s ،xsj -امین نقطه روي لینک j است. با انتخاب s 0,1 که s1,…,S و S تعداد نقاط انتخابی روي هر لینک است، موقعیت xsj هر نقطه روي لینک تعریف می شود. براي مثال نقطه میانی (میانهي هر لینک) با انتخاب

 به دست می آید.
براي اینکه تضمین شود هیچ نقطه تعریف شده روي لینک داخل مانع p قرار نمی گیرد، xsj در رابطه (8) به جاي x معادل سازي شده و محدودیت (11) براي هر وجه k از مانع p، هر لینک j و هر نقطه s واقع روي لینک j نوشته می شود. به علاوه محدودیت (12) براي هر j و s لازم است. در اینجا bsjk متغیر صفر و یک براي معرفی در مدل MILP به عنوان متغیر تصمیم است:
Ck x sj d k (bsjk 1)M
N bsjk 1
k1
تعداد نقاط روي لینک باید طوري انتخاب شود که هندسه (بدنه) هر لینک با دقت مناسبی در مقایسه با شکل مانع نمایش داده شود، یعنی اینکه فاصله بین دو نقطه مجاور روي یک لینک باید کوچک تر از اندازه هر مانعی که در مسیر آن واقع می شود، انتخاب شود.

حرکت روبات بازویی در فضاي با چند مانع
حال به معرفی مدل کلی ریاضی براي حرکت روبات بازویی در فضاي کاري شامل چندین مانع میپردازیم. این مدل، حرکتی عاري از برخورد با موانع یک روبات بازویی را تولید می کند؛ البته به طوري که عمل کننده نهایی، مسیري از قبل مشخص شده را بپیماید ،حرکت روبات هموار بوده و تغییرات ناگهانی در جابهجایی لینکها دیده نشود. مدل ارائه شده به صورت برنامه ریزي غیرخطی عدد صحیح مختلط (MINLP) به صورت زیر است:

Minimize Z 

2
2
1
(
)
Nd
d
d
X
Xg


2

2

1

(

)

Nd



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید