نشریه تخصصی مهندسی صنایع، دوره 46، شماره 2، مهر ماه 1391، از صفحه 175 تا 183
تخمین و بهینه سازي پایایی در مدل مقاومت- تنش به روش سطح پاسخ

طه حسین حجازي1، میرمهدي سیداصفهانی*1 و اسماعیل خرم2
دانشکده مهندسی صنایع و سیستمهاي مدیریت- دانشگاه صنعتی امیرکبیر تهران
دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر – دانشگاه صنعتی امیرکبیر تهران
(تاریخ دریافت 8/11/90، تاریخ دریافت روایت اصلاح شده 1/12/90، تاریخ تصویب 18/6/91 )

چکیده
در طراحی آزمایش ها، هدف، شناسایی و تحلیل متغیرهاي مؤثر بر خروجی ها با کمترین تعداد آزمایش است. متدولوژي سطح پاسخ روشی ریاضیاتی – آماري براي بهینه سازي خروجی هاي آزمایش ها است. این روش با کشف میزان بهینه هر یک از متغیرهاي طراحی به بهترین سطح پاسخ دست می یابد.
در بسیاري از کاربردهاي مهندسی، طراحی پایدار از مهم ترین مسائل موجود است. طراحی پایدار آن است که در مقابل فشارهاي ممکن حداکثر پایایی را داشته باشد. استفاده از روش سطح پاسخ با در نظر گرفتن خروجی هاي مربوط به پایایی محصول، میتواند به این هدف دست یابد. از آنجا که بررسی روشهاي بهینه سازي سطح پاسخ به همراه در نظر گرفتن پایایی در ادبیات مهندسی کیفیت، کمتر مورد توجه قرار گرفته است، در این تحقیق بهینه سازي سطوح پاسخ چندگانه مرتبط به پایایی در نظر گرفته خواهد شد.

واژه هاي کلیدي: بهینه سازي پایایی، مدل تنش- مقاومت، طراحی آزمایش ها، متدولوژي سطح پاسخ ،رگرسیون
چندمتغیره

مقدمه
در سـاخت و تولی د، داش تن اطلاع ات درب اره پای اییمکانیکی یک طراحی از طریق مدل هـاي مقاومـت- تـنشمی تواند به طور قابل توجهی هزینه هـاي تولیـد را کـاهشداده و بازدهی را بالاببرد. تصادفی بودن مقاومت یک قطعـهبه خوبی پذیرفته شده است و همین موضوع مبنایی بـرايمدلسازي آماري پایایی شده است.
در نظریه سنتی پایایی ،اغلب، فقط درست یا نادرسـتکارکردن به عنوان وضعیت هـاي عملکـرد یـک سیسـتم واجزاي آن فرض مـی شـد . بنـابراین در شـرایطی کـه یـکسیستم بتواند خارج از دو وضـعیت ذکرشـده و در حـالتیبینابین به عمل ادامه دهد، نظریه دچار مشکل مـی شـد . از این رو مفهوم سیستم هاي چندحالته براي نمـایش سـطوحمختلف عملکرد به کارگرفته شد [1].
همچن ین در مـورد سیسـتم هــاي چن د جزئ ی نیــزمطالعات بسیاري انجام گرفته اسـت کـه از مهـم تـرین آنمی توان به این موارد اشاره کرد:
در سال 1974، سیستمی متشکل از n مؤلفه کـه بـاk مؤلفه سالم با تنش احتمالی X به درسـتی کـار مـیکنـد،مــورد مطالعــه قرارگرفــت کــه ایــن حالــت متنــاظر بــاسیستم هاي k تا ازn واحد است [2].
سپس یک سیستم چندمتغیره مستقل که هر عضو آن نیز متشکل از چندین مؤلفه وابسته باشـد، درسـال 2008 مورد تحلیل پایایی قرار گرفت [3].
بحـث مـدل هـاي تـنش- مقاومـت نیـز یکـی دیگـر ازموضوعات جالب در ادبیـات پایـایی اسـت. در سـاده تـرینمدل، یک سیستم یـا قطعـه تـا زمـانی کـار مـی کنـد کـهمقاومت آن از تـنش و فشـاري کـه بـه آن وارد مـی شـود،بیشتر باشد. این گونـه مـدل هـاي بـه طـور گسـترده و بـافرض هاي مختلف در توزیع هاي احتمالی مقاومـت بررسـیشده است[4و5]. همچنین بحث هاي جدیـدتر دربـاره ایـنمدل ها را می توان در کارهاي [6، 7و 8] مشاهده کرد.
مدل چندمتغیره بـا فـرض توزیـع هـاي مختلـف بـراي
متغیر تنش و مقاومت نیز بـ ه صـورتR=P(ATX > BTY) توسعه داده شـد [9]. در ایـن تحقیـق توزیـع چنـدمتغیرهنرمال و گاما مورد تحلیل قرار گرفت.
با فرض توزیع گاما، وجود همبستگی بین مؤلفـه هـا درحال ت چن دمتغیره بررس ی ش ده اس ت [10]. ب ا ف رض
نرمال بودن توزیـع احتمـالات نیـز در حالـت تـک متغیـره ، بررسی کامل و ارزیابی مدل مقاومت- تنش در سال 1992 انجام گرفته است [11].
Email: [email protected] ، 64545351 : نویسنده مسئول : تلفن *

2325624230380

Process

Process

DesignMatrix := ⋮ =⋮: QualityCharacteristics
Nuisance Variables :
= [ …]
شکل 1: نمایی از یک سیستم با چند ورودي و چند خروجی

تعبیر پایایی را به طور اساسی با در نظر گـرفتن عامـلزمان بیـان مـی کننـد . هـ ر چنـد بـرآورد پایـایی از طریـقمدل هاي مقاومت-تنش، به مفهوم بازده نزدیـک تـر اسـت.
همچنین در این مدلها فرض می شود کـه میـزان تـنش ومقاومت اجزا یا سیستم، بر خلاف اکثر مدلهاي مبتنی بـرزمان، ثابت نبوده و داراي توزیع احتمالی مشخص است.
طراحی سیستمها بـر مبنـاي شـاخص هـاي کیفیـت وپایایی از موضوعات مهم در مطالعات مرتبط با سیستم هاي پیچیده است. حفظ مشخصه هاي کیفیت حدود تلرانسـ ی و افـزایش مقاوم ت آنه ا در مقاب ل ت نش ه اي محیط ی و کاربري بسیار در رقابت پذیري آن ها اثرگذار است.
در بح ث طراح ی آزم ایش ه اي آم اري ب راي بهب ود شاخصههاي خروجی سیستمها نیز مطالعات زیـادي انجـام شده است. به تازگی رویکردهاي غیرقطعی به این موضـوع سبب شده است تا بتوان شـاخص هـای ی نظیـر پایـایی کـهماهیتی از جنس احتمال دارند را نیز به وسـیله مـدلهـايخطی یا خطی تعمیم یافته مورد تحلیل و بهینه سازي قـرارداد.
نمونه اي از یک سیستم با متغیرهـاي آن در شـکل (1) نشان داده شده است.
مهم ترین مطالعات در زمینه بهینه سازي سیستمهـا د ر شرایط غیرقطعی از طریق طرح آزمایش و مدلهاي خطـیبه استفاده از روش سطح پاسخ مربوط می شود.
در مورد رویکرد فازي بـه طراحـی، کـیم و لـین یـکرویکرد مدل سازي فازي بـراي بهینـه سـازي سیسـتمی بـاپاسخ هاي دوگانه پیشنهاد کرده اند. مدل پیشنهادي شرایط پارامتري، فرآینـد را بـراي بیشـ ینه سـازي همزمـان درجـهرضایت میـانگین و انحـراف اسـتاندارد پاسـخ هـا مشـخصمی کند [12].
ونتر و هافتکا مفاهیم فازي را بـراي مـدل سـازي نبـود قطعیت در صنعت هواپیمایی مورد استفاده قرار دادنـد . در مطالعه موردي پژوهش آنها نشان داده شد که طراحی بـرمبناي تئوري فازي بهتر جواب میدهد [13].
در تحقیقــی دیگــر، از مفهــوم رگرســیون فـ ازي وکاربردهــاي آن در مــدل ســازي قالــب ریــزي انتقــالی درکپسوله کردن ریزتراشه استفاده شده است. با یک مجموعه داده هاي آزمایشی30 تایی، رویکرد رگرسیونی خطی فـازيبراي توسعه مدل هاي فرآیندي با متغیرهاي مستقل دمـايقالب گیري، زمان پرکـردن، نیـروي انتقـال، زمـان بـرش وشکل تزریق مورد بررسی قرار گرفته شـد . بـر اسـاس ایـنکار، رگرسیون خطی فازي می تواند بـا فـازي سـازي مـدلرگرس یون خط ی آمــاري ب ا ی ک تــابع خط ی فــازي و پارامترهاي فازي در مدل سازي فرآیند به کار رود [14].
همچنین در مورد رویکرد احتمالی در طراحی، در سال
2001 با در نظر گـرفتن توزیـع نرمـال چنـدمتغیره بـرايبردارهاي چندپاسخی به بهینه سـازي احتمـالی ایـن مـدلپرداخته شد. در این تحقیق، همبستگی بین پاسـ خ هـا نیـزدر نظر گرفته شد. نکته مهم در روش آن هـا ایـن بـود کـهبراي هر پاسخ یک فاصله اطمینان مطلوب تعریـف شـده ودر نهایت مدل به نحوي بهینه سازي میشـود کـه احتمـالق رار گ رفتن متغیره ا در فواص ل از پ یش تعی ین ش دهماکزیمم شود [15].
استفاده از طرح آزمایش و تخمین مدل خطـی مربـوطبه شاخصهاي خروجی چندگانه سیسـتم، ضـمن در نظـرگرفتن متغیرهـاي کمکـی احتمـالی در حالـت مسـت قل و همبسته در تحلیل و بهینه سازي سیستمهاي پیچیـده بـهکار گرفته شده است [16]. در مـدل ارائـه شـده، اسـتوارينت ایج ب ه هم راه احتم ال وق وع متغی ر کمک ی در ی ک برنامه ریزي آرمانی مدل سازي شد.
در تحقیق ی دیگ ر [17] از رواب ط ف ازي و غیرقطع ی براي بهینه سازي فرایند تخلیه برقی ماشین ها استفاده شده است. در روش پیشـنهادي آرایـه هـاي متعامـد، تعـاریف وروابط غیر قطعی، تصمیم گیري فازي و تحلیل واریانس بـ ه کار گرفته شدهاند تا فراینـد ویژگـی هـاي عملکـردي یـکفرایند ماشینکاري بهینه شود. آن ها با یک طـرح 9L یـکآزمایش با 3 فاکتور و 3 پاسخ را تحلیـل کرد نـد . از طـرفدیگر، کاربرد برنامه ریزي احتمالی در متدلوژي سطح پاسخ در سال 2005 بررسی و انواع مدل هاي ریاضی قابل کاربرد در این زمینـه تشـریح شـد. در ایـن مطالعـه، چهـار مـدلمعادل قطعی (مدل میانگین محور، مـدل واریـانس محـور،مدل واریانس محور متغیـر تعـدیل شـده و مـدل احتمـالمحور) براي حل یک مدل برنامه ریزي احتمـالی ارائـه شـدکه در قلمروي روش هاي چند هدفه نیـز قـرار مـی گیرنـد[18]. براي پیش بینی آماري حرکـت روبـات، روش سـطحپاسخ احتمالی به کـار گرفتـه شـد [19]. همچنـین آن هـانتایج را با روش هاي شـبیه سـازي مقایسـه کـرده و بهبـودروش خود را نشان دادند.
در سال 2011 از رگرسـیون چنـدمتغیره و بـا بررسـیتوزیع نرمال ماتریسی براي سطوح پاسخ، به تخمین مـدلخطی تعمیم یافته مرتبط با یک طرح آزمـایش پرداختـه وبا وارد کردن توزیع احتمالی در مدل برنامه ریـزي ریاضـی،مدلهاي میانگین محور، واریانس محـور تعـدیل شـده و …
بهینه سازي شد [20].
ه دف از ایـن مطالع ه ، پـیش بین ی و بهب ود پای اییمشخص ه ه اي خروج ی در ی ک سیس تم ب ا اس تفاده ازمتدولوژي سطح پاسخ است. همان طور که در ایـن بخـشبحث شد، بررسی ماهیت تصادفی مشخصه هاي خروجـی وهمچنین خطاي تصادفی در مـدل هـاي آمـاري مـرتبط بـاآن ها از مسائلی است که بسیار محدود مد نظر قرار گرفتـهاست. بنابراین در این تحقیـق بـا اسـتفاده از مـدل پایـاییتنش- مقاومت، به بهینه سازي مدل آماري برازانیـده شـدهروي متغیرهاي خروجی یک سیستم پرداخته خواهد شد.
ساختار این تحقیق این گونه انجام شده است که پـساز بررسی برخی از مطالعات مهم در زمینـه تحلیـل پایـاییدر مدل هاي مقاومت و تنش که پـیش از ایـن بیـان شـد،روش پیشــنهادي در بخــش 2 تشــریح خواهــد شــد وویژگی هاي آن مورد بررسی قرار خواهد گرفت. براي تأییـدو نشان دادن کارایی و روش پیشنهادي در بخش ،3 از یک مدل شبیه سازي استفاده شده است.

روش پیشنهادي
در این تحقیق سعی شده است که با اسـتفاده از طـرحآزمــایش عــاملی مبتنــی بــر ســطح پاســخ، رابطــه بــین ورودي هاي طراحـی و مشخصـه هـاي خروجـی سیسـتم راتخمین بزند. پس از شناسایی عوامل مؤثر و تخمین سـطحپاسخ (Y(x)) به بهینه سازي آن پرداخته می شود. با توجه به این مقدمات ، گام هاي روش پیشـنهادي بـه ایـن شـرحاست:
شناسایی متغیرهاي خروجی سیسـتم (مقاومـت 1)، عوامل تأثیرگذار و طرح آزمایش مربوطه
انجــام آزمــایش هــا روي سیســتم و جمــع آوري اطلاعات
به دست آوردن سطح پاسخ با استفاده از مدل هـايخطی تعمیمیافته
محاسبه توزیع آماري سطح پاسخ بـر اسـاس روشتحلیل یا تقریبی
تعیین میزان تنش2 و توزیع آن
تشکیل مدل تنش-مقاومت
تخمین P(Y(x) < W) و ماکزیمم سازي آن
تأیید نتایج محاسباتی

مدلسازي
در این بخش با توجه بـه ادبیـات مـدلهـاي خطـی ومتــدولوژي ســطح پاســخ بــه بیــان پارامترهــا، نمادهــا و متغیرهاي مورد استفاده در این تحقیق پرداختـه مـیشـود
.[21]

تعریف پارامترها و متغیرها
(,…,,) = : بردار متغیرهاي قابل کنتـرل
(عاملها)
⋮ ⋯ ⋮ ⋮ = : برآوردگر حداقل مربعـاتضرایب مدل خطی کـه از طریـق Y ( ) = به دست میآید کـه در آن ( ) = هـر
یــک از ضــرایب مــدل را بــازايk = 1,2, … , r را نشــان مــی دهــد. همچنــین بــا ایــن فــرض کــه
(∑ ⊗,0) ×~ ضـ رایب نیـ ز داراي توزیـ ع
14782803512

×~ خواهند بود که در آن
.

( ) = (1,,,…,,,,…,,

+
295656-325215


نشان دهنده سطح پاسخ یـا تـابع پـیش بینـی کننـده بـرايمتغیر خروجی k ام در نقطه x.
( ) = (( ),( ), …,( )) =(
سطوح چندپاسخی یا بردار پیش بینی متغیرهـاي خروجـیدر نقطه x.
()

= ∑: برآوردگــ ر مــ اتریس
کواریـــــانس بـــــه طـــــوري کـــــه ∑(N − p) داراي توزیع ویشارت بـا پـارامتر∑ و (N − p) درجـهآزادي اســـــــــــــــــت. بنـــــــــــــــــابراین
(∑,N − p)∑~W (N − p) ؛ قابل ذکر است که Im ماتریس همانی از رتبه m است.
و در پایان با توجه به موارد ذکرشده:
Y(x)=( )=( )
و
Y(x)=( )()( )∑
برآورد نااریبی از (CovY(x با رابطه زیر به دسـتمیآید:
Y(x)=( )()( )∑
پس متغیر مقاومـت داراي توزیـع نرمـال خواهـد بـود
[22و 23].

مدل ریاضی
پس از به دست آوردن توزیـع احتمـالی مـدل تـنش- مقاومت، و تخمین رابطه بین ورودي ها و تابع مقاومـت بـه روش سطح پاسخ، میتوان مدل ریاضی بهینه سازي پایـاییرا به شکل زیر ایجاد کرد:
max ( < ( ( )) Subject to:
<<
در برخی از حالات، توزیع متغیر تـابع هـدف در مـدلریاضی بالا شناخته شده و مشخص است [3].
به عنوان نمونه با فرض توزیع نرمال چندمتغیره بـرايمتغیرهاي تنش و مقاومت می توان نوشت:
(<( )=(

∑( ( () )∑ ))/

که در آن تابع
همان تابع توزیع تجمعی توزیـع نرمـال اسـتاندارداست.
( ) از رابطه (1) به دست می آید.
(( ) ∑) از رابطه (3) به دست میآید.
و ∑ نیز میانگین و ماتریس کوواریانس توزیع نرمال متغیر تنش است که جـزو ورودي هـاي مسـئلهاست.
براي حل این برنامه ریاضی (4) از روش هـاي مختلفـیمی توان استفاده کرد. براي مثـال بـراي توزیـع هـاي سـادهمی توان با آزادسازي محدودیت هاي کـران بـالا و پـایین از روش هاي بهینهسازي غیرمقید استفاده کرد.
ولی در صورت رسیدن به توزیع هـاي پیچیـده، ممکـناست استفاده از روش هاي غیرکلاسیک بهینه سـازي نظیـرالگوریتم هاي فراابتکاري، مؤثرتر واقع شود. در این مطالعـه،از آنجا که ادعـایی بـر محـدببـودن برنامـهریـزي ریاضـیارائه شده ن میتوان کرد و بسته به توزیع مقاومـت و تـنش، ممکــن اســت شــرایط تحــدب نقــض شــود، بنــابراین از روش هاي مرسوم بهینه سـازي غیرخطـی محـدب اسـتفادهشده است. همچنین براي جلوگیري از افتادن در دام بهینه محلی، الگوریتم هاي موجود از نقاط شروع مختلفی به کـارگرفته شده اند تا احتمال نیل به بهینـه سراسـري بـالا رود .
براي ارائـه مقایسـه و رسـیدن بـه معیـاري بـراي کیفیـت جوابها، ویرایش استانداردي از الگوریتم ژنتیک نیـز بـرايکشف نقطه نزدیک به بهینه براي این مدل غیرخطی مورد استفاده قرار گرفته است.

جدول 1: طراح عاملی کامل با 5 تکرار براي آزمایش سیستم
Experiment ID S S
1 -1 -1
2 -1 0
3 -1 1
4 0 -1
5 0 0
6 0 1
7 1 -1
8 1 0
9 1 1
مثال عددي و اعتبارسنجی
پس از تشریح روش پیشنهادي در این بخش، از طریق یک مثال عددي، به بهینه سازي یک سیستم صنعتی بـا دوپارامتر طراحی و دو متغیر خروجی می پردازیم.
یک سیستم موجودي (S,s) بـا شـرایط احتمـالی زیـرمفروض است [24]:

ش رکت مف روض قطع ات قاب ل شمارش ی را انب ارش می کند (سفارشهاي عددصحیح).
سطح موجودي پـس از گذشـتt واحـد زمـانI(t) و مقدار موجودي اولیه I(0) = 60.
دوره بررسی سیستم 120 روز است.
زمان بین ورود مشتریان داراي توزیع نمایی با میانگین
0.1 روز است.
تقاضاي هر مشتري متغیري گسسته است که مقادیر 1 تا 4 قطعه را به ترتیب با احتمالات ,333.0 ,0.1670.167 ,0.333 اخذ میکند.
اگـر هنگـام ورود تقاضـاي مشـتري، بـه میـزان کـافیموجودي در انبار باشد، تقاضا برآورده می شود.
اگر به میزان تقاضا موجودي نباشد ،همه موجـودي بـهمشتري داده می شود و بقیه تقاضا به صورت پـس افـتباقی میماند.
مرور موجودي در ابتداي هر روز انجام میگیرد.
دو متغیر مهم طراحی این سیسـتم موجـودي عبـارت است از کران پایین (s) و بالاي موجودي (S).
اگر هنگام مرور انبار، سطح فعلی موجودي از s بیشـترباشد ،سیستم به کار خود در آن روز ادامه میدهد.
ولی اگر سطح موجـودي ازs کمتـر باشـد، بـه میـزاناخ تلاف س طح موج ودي ت ا S س فارش قطع ه داده می شود.
قابل ذکر است که سفارشات براي تکمیـل انبـار دارايزمان تدارکی است که از توزیع یکنواخت بین 5,0 تا 1 روز پیروي میکند.

پس از تشریح سیستم مـورد مطالعـه بایـد بـر اسـاسرویکرد پیشنهادي به تحلیل مسئله پرداخت:
1- شناسایی متغیرهاي خروجـی سیسـتم (مقاومـت )، عوامل تأثیرگذار و طرح آزمایش مربوطه در این مثال مطلوب است مقادیر بهینـه متغیرهـايS (ماکزیمم سطح موجودي) و s (سطح پایین موجـودي ) را به نحوي تعیین شود که دو هـدف زیـر همزمـان بـرآوردهشود:
ا. هزینه سیستم موجودي (نگهداري و سـفارش دهـی وکمبود).
ب. درصد مشتریانی که بـ ا کمبـود مواجـه شـده انـد وتقاضاي آنها بی پاسخ مانده است.
2- انجــام آزمــایش هــا روي سیســتم و جمــع آوري اطلاعات
بدین منظور از یک طرح 32 با 5 تکـرار اسـتفاده شـدهاست. خلاصه جدول طرح آزمایش، آورده شده است.
قابل ذکر است که سطوح متغیرهاي کنترلـی سیسـتمکه به صورت کدشده برابر -0،1 و1 تنظیم شده انـد، بـرايحداقل سطح موجـودي معـادل مقـادیر 15،5و25 و بـرايمتغیر حداکثر موجودي معادل مقادیر30، 45 و 60 اسـت . با توجه به طرح تولیدشده، آزمایشاتی روي سیسـتم انجـام گرفته که نتایج متغیرهـاي خروجـی در ادامـه آورده شـدهاست.

جدول 2: هزینه سیستم موجودي با توجه به آزمایشات طراحی شده
Total cost Replicates Experiment ID 1 2 3 4 5
1 154.30 151.11 155.81 153.01 155.62
2 142.20 147.95 142.31 148.79 146.99
3 144.52 141.68 138.08 143.32 137.53
4 137.06 134.09 128.56 136.24 144.76
5 124.27 121.19 128.63 129.10 135.27
6 123.63 125.03 119.84 122.50 124.25
7 133.24 125.35 132.76 134.15 134.15
8 126.76 122.57 119.10 121.00 125.85
9 116.00 114.66 124.32 120.59 124.52

جدول 3: درصد مشتریان مواجه شده با کمبود با توجه به آزمایشات طراحی شده
Shortage percent Replicate Experiment ID 1 2 3 4 5
1 0.416 0.419 0.419 0.419 0.417
2 0.368 0.384 0.377 0.390 0.385
3 0.375 0.370 0.364 0.377 0.356
4 0.344 0.347 0.339 0.354 0.355
5 0.292 0.291 0.309 0.308 0.311
6 0.207 0.218 0.212 0.209 0.231
7 0.287 0.287 0.298 0.299 0.291
8 0.247 0.253 0.238 0.241 0.250
9 0.158 0.155 0.184 0.203 0.197

3- بــه دســت آوردن ســطح پاســخ بــا اســتفاده از
Generalized Linear Models
ابتدا با استفاده از نـرم افـزارSAS مـدل درجـه دو بـاجملات تعاملی را به صورت زیر برازش می دهـیم (جـداول4و5).

جدول 4: به دست آوردن سطح پاسخ براي خروجی اول
Response 1 (Y1)
Variable DF Parameter estimate Standard error t Pr > |t|
Intercept 1 127.47867 1.24701 102.23 <.0001
x1 1 -10.94 0.68302 -16.02 <.0001
x2 1 -6.32467 0.68302 -9.26 <.0001
x12 1 6.98 1.18302 5.9 <.0001
x22 1 2.224 1.18302 1.88 0.0676
x1x2 1 0.258 0.83652 0.31 0.7594

جدول 5: به دست آوردن سطح پاسخ براي خروجی دوم
Response 2 (Y2) Variable DF Parameter estimate Standard error t Pr > |t|
Intercept 1 0.29249 0.00534 54.78 <.0001
x1 1 -0.07493 0.00292 -25.62 <.0001
x2 1 -0.04917 0.00292 -16.81 <.0001
x12 1 0.02567 0.00507 5.07 <.0001
x22 1 -0.00603 0.00507 -1.19 0.2408
x1x2 1 -0.01585 0.00358 -4.42 <.0001

بـ ا انجـ ام آزمــایش چنـ د متغیـ ره روي جمـ لات پیش بینی کننده، مشاهده شده است که جمله 22x از نظـرآمـ اري معنـ ی دار نیسـ ت. بـ ا حـ ذف ایـ ن جملـ ه از پیش بینی کننده ها و با توجه به روابط بیان شـده در بخـشمدل سازي خواهیم داشت:
= 128.9613 0.2885
-10.9400 -0.0749
-6.3247 -0.0492
6.9800 0.0257
0.2580 -0.0159
که ستون اول ضرایب رگرسیون (سـطح پاسـخ) بـرايمتغیـر اول و س تون دوم مرب وط ب ه متغی ر خروج ی دوماست.
بـ ر اسـ اس داده هـ اي ورودي مـ اتریس کواریـ انس خروجی ها به صورت زیر است:
Sigma=∑ =

محاسبه توزیع آماري سطح پاسخ بـر اسـاس روشتحلیل یا تقریبی
توزیع دقیق سطوح پاسخ به ازاي یـک بـردار مشـاهدهجدید ̇ ، نرمال دومتغیره با پارامترهاي زیر است:
( ̇)~( ( ̇), ( ̇) ()( ̇)∑)

تعیین میزان تنش و توزیع آن در این سیستم موجودي، فرض شده اسـت کـه میـزانبودجه سالانه و سطح رضایت مشتري (درصد کمبود قابـلقبول) داراي توزیع نرمـال دو متغیـره بـا پارامترهـاي زیـرهستند:
~
تشکیل مدل مقاومت-تنش
( ̇) =( ( ̇) <)
تخمین P(Y(x)<W) و ماکزیموم سازي آن
925576-93836( ̇)=(∑((̇) (( )̇))( ̇)∑) /
در واقع در اینجا هدف طراحی سیستم به نحوي اسـتکه رضایت مشتري و بودجه سـالانه بـا بیشـترین احتمـالتوسط سیستم برآورده شود.
با تشکیل مدل ریاضی و حل توسـط الگـوریتم ژنتیـک
(ابزار نرم افزار MATLAB) نتایج زیر حاصل شده است:
= ( ,) = (0.85,1)
با توجه به رابطه کدشدن عاملها میتوان مقادیر اصلی آن ها را به دست آورد.
562864-51738= 0.85= 18.5
= 1= 60
می زان قابلی ت اطمین ان از بودج ه و س طح رض ایتمشتري پس از حل مدل پیشنهادي به %84.81 رسـیدهکه مقـداري قابـل قبـول اسـت. همچنـین مقـادیر هزینـهسیستم و درصد مشتریان کمبودي نیز در نقطه بهینه برابر است با:
(07.18 ,5988.118 ) = ((̇ ) )شکل 1 نیز نشان دهنده همگرایی الگـوریتم ژنتیـک درکشف جواب نهایی است.
مدل ذکرشـده بـا ب رخـی دیگـر از روشهـاي مرسـومبهینه سازي غیرخطی نیز حل شده که خلاصهاي از مقایسه بین نتایج در جدول (4) ارائه شده است.

Best: -0.848129 Mean: -0.848105

شکل 1: نمودار همگرایی جواب در الگوریتم ژنتیک بکارگرفته شده در مثال عددي جدول 1: مقایسه نتایج حاصل از حل مدل با برخی از روشهاي مرسوم برنامه ریزي غیرخطی
Algorithm (Solver) Design
Variables
(s,S) Final Reliability Starting Points
Interior point (fmincon) (0.8473,1) 0.8481 (-1,-)1, (1,1), (0,)0
SQP 3 (fmincon) (-1,-)1 2.8597e-12 (-1,-)1
(0.8473,1) 0.8481 (0,)0
Active set (fmincon) (-1,-)1 2.8597e-12 (-1,-)1
(0.8473,1) 0.8481 (0,)0

همان طور که در جدول بالا نشان داده شده است، بـ ه جز روش نقطه درونی، سایر روشهاي بررسی شده، نسبت به نقاط شروع مذکور پایداري نداشته، کـه نشـان از وجـودنقاط بحرانی محلی در این مسئله است. البته بـا توجـه بـهاین نقاط اولیه، میتوان اشاره کرد کـه روش نقطـه درونـیتوانسته در تعداد تکـرار انـدکی (کمتـر از 15) بـه جـوابدست یابد.
براي انجـام مقایسـه نتـایج روش پیشـنهادي بـا سـایررویکردهـ اي موجـ ود، دو روش مهـ م در بهینـ ه سـ ازي سیستم هاي شبیه سازي شده انتخاب شـده اسـت. رویکـرداول استفاده از روش سطح پاسخ کلاسیک است که به طور تک متغیره ارتباط بین ورودي ها و خروجی هاي سیسـتم رام دل سـازي م ی کن د و از ایـن طریـق ب ه بهینـه س ازي خروجی ها میپردازد. الگوریتم هاي فراابتکـاري نیـز دسـتهدیگري از روش هاي بهینـه سـازي شـبیه سـازي را تشـکیلمیدهنـد کـه ترکیبـی از قدرتمنـدترین ایـن روش هـا درالگوریتم ترکیبی OptQuest گنجانده شـده اسـت [25]. در جــدول مقایســه اي بــین ایــن دو روش عمــده و روشپیشنهادي ارائه شده است.

جدول7: مقایسه نتایج به دست آمده از طریق روش هاي موجود با رویکرد پیشنهادي
Method Design Variables
(s,S) Final Reliability
MRSM [25] (0,0.2) 0.37
OptQuest (0.9,1) 0.847
Proposed Method (0.8473,1) 0.8481

قابل توجه است که روش هاي مبتنی بر الگـوریتم هـايفراابتکــاري، بــا اینکــه جــوابی نزدیــک بــه جــواب روشپیشنهادي نتیجه دادند، ولی بـه دلیـل ارائـه نکـردن مـدلریاضی بین ورودي و خروجی ها و نیز زمـان پـردازش بـالا، کارآیی کمتري نسبت به مدلسازي آماري دارند. همچنـیندر صورت بالا رفتن تعداد متغیرهـاي کنترلـی، ایـن گونـهروش ها امکان غربـالگري متغیرهـا و سـاده سـازي مـدل رانخواهند داشت. بنابراین بر پیچیدگی زمـانی آن هـا افـزودهخواهد شد.

بحث و نتیجه گیري
امروزه در سیسـتم هـاي پیچیـده، طراحـی متغیرهـايکنترلی (عاملها) بـه منظـور بهینـه سـازي مشخصـههـايعملکردي مورد توجه بسـیار قـرار گرفتـه اسـت . برخـی ازسیستمها تحت تنشهایی (فشارهایی) هستند که از خارج سیستم بر آن ها وارد شده و باید در مقابـل آن هـا مقاومـتداشتهباشند. طراحی سیستم، به نحوي که بیشترین پایایی در مقابل این فشارها را نشان دهـد ، از مهـم تـرین و ظـایفمهندسان سیستم است. در این تحقیـق ، بـا ترکیـب مـدلپایایی مقاومت- تنش در حالـت چنـدمتغیره و متـدولوژي سطح پاسخ، رویکري براي بهینه سازي سیستم هاي پیچیده ارائه شد که در آن، هم متغیرهـاي مقاومـت و هـم متغیـرتنش داراي توزیع احتمالی باشـند . همچنـین بـراي نشـاندادن کارآیی روش ارائه شده، مثالی با در نظر گرفتن توزیع نرم ال چن دمتغیره ارائ ه ش د و ملاحظ ه ش د ک ه روشپیشنهادي، توانایی افزایش پایایی را تا سطح مطلوبی دارد.
مراجع
Eryilmaz, S. (2011). “A new perspective to stress–strength models.” Ann Inst Stat Math 63:101–115, DOI 10.1007/s10463-008-0211-3.
Bhattacharyya, G.K. and Johnson, R.A. (1974). “Etimation of reliability in a multicomponent stress- strength model.” J Am Stat Assoc, 69, 966-70.
Eryilmaz, S. (2008). “Multivariate stress–strength reliability model and its evaluation for coherent structures.” J Multivariate Anal, 99, 1878–1887.
Kotz, S., Lumelskii, Y. and Pensky, M. (2003). “The stress-stength model and its generalizations.” Singapore: Wo rld Scientific.
Johnson, R. A. (1988). “Stress–strength models for reliability.” In P.



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید