نشریه تخصصی مهندسی صنایع، دوره 54، شماره 2، مهر ماه 0931، از صفحه 951 تا159 174 روند تغییرات هزینه و مقدار اقتصادي سفارش در شرایط وجود افزایش معلوم قیمت کالا در مقاطع مشخص زمانی تحت رویکرد فازي

2*1
جواد طاهري تل گري و فریبرز جولاي
1دانشآموخته کارشناسی ارشد مهندسی صنایع – دانشگاه تربیت معلم تهران (خوارزمی)
2دانشیار گروه مهندسی صنایع – پردیس دانشکدهاي فنی – دانشگاه تهران
(تاریخ دریافت 8/8/98، تاریخ دریافت روایت اصلا حشده 01/2/09، تاریخ تصویب )90/6/19

چکیده
مسائل برنام هریزي براي کنترل تولید و موجودي از جمله موضوعاتی است که سازما نهاي مختلف با آن روبه رو هستند. در برخی از موارد ،بیتوجهی به نبود قطعیت در این گونه مسائل، باعث افزایش هزین ههاي سیستم کنترل تولید و موجودي م یشود. در این مقاله یک مدل کنترل موجودي در شرایط وجود افزایش معلوم قیمت کالا در مقاطع مشخص زمانی با رویکرد فازي ارایه شده است، به طوري که پارامترهاي به کار رفته در مدل به صورت عدد فازي مثلثی در نظر گرفته شده است. براي محاسبه فاکتورهاي بهینه مدل از سه رویکرد برش آلفا و روش ووجسویک (دیفازي سازي پارامترهاي ورودي قبل از حل مدل و همچنین دیفازي سازي پارامترهاي خروجی بعد از حل مدل) استفاده شده است. به طوري که رویکرد اول از ادغام روش برش آلفا و روش برنامه ریزي غیر خطی پارامتري براي محاسبه فاکتورهاي بهینه مدل بهره م یگیرد و مبناي دو رویکرد دیگر استفاده از روش گشتاورها در قطعی سازي پارامترها است. محاسبات عددي نشان م یدهد که کارایی روش تلفیقی برش آلفا و برنامه ریزي غیر خطی پارامتري که رویکردي ابتکاري براي حل مدل است تا حد قابل ملاحظه اي از دو رویکرد دیگر بهتر است؛ چرا که این روش با تعیین تابع عضویت پارامترهاي خروجی مدل، سیاستهاي بهینه مدل را با در نظر گرفتن سطوح مختلف برش آلفا در هر سطح برش تعیین می کند و اطلاعات بیشتري را براي گرفتن تصمیم واقع بینانه نسبت به سایر روش ها در اختیار تصمیم گیرنده قرار می-دهد .

واژ ههاي کلیدي: کنترل موجودي، تئوري فازي، اصل گسترش زاده، برنامه ریزي غیرخطی پارامتري، برش آلفا

مقدمه
دست رفته و تقاض اي عقب افتاده، اضافه کردن انواع محدودی تها، لحاظ کردن حالت چند محصولی به صورت هاي سیکل تولیدي ثابت و متغیر، در نظر گرفتن کالاهایی که با گذشت زمان به ارزش آنها افزوده م یشود و یا از ارزش آنها کاسته م یشود، در نظر گرفتن حال تهاي غیرقطعی نظیر حال تهاي احتمالی، فازي و هیبریدي و … از جمله گستر شهاي موجود در این زمینه هستند که براي تطابق با دنیاي واقعی مورد بررسی بسیاري از محققان در این زمینه قرار گرفت هاند. بنابراین در این مقاله با استفاده از پارامترهاي فازي به بررسی یک مدل کنترل موجودي سفارسی در شرایط عدم قطعیت با سه رویکرد متفاوت میپردازیم. به طوري که رویکرد اول روشی ابتکاري است؛ به نحوي که پارامترهاي بهینه مدل را با جزئیات بیشتري در اختیار تصمیم گیرنده براي تصمی مگیري واق عبینانه قرار میدهد. در حالی که دو رویکرد دیگر چنین قابلیتی ندارند. همچنین از دیگر از جمله موضوعاتی که سازمان هاي مختلف با آن روبه رو هستند مسائل برنام هریزي براي تولید و کنترل موجودي است. مسائلی از قبیل میزان و زمان سفار شهاي مواد اولیه یا قطعات نیم هساخته1، تعیین نوع سیستم کنترل موجودي، تعیین ظرفیت انواع انبارها و برنام هریزي براي تحویل به موقع و اقتصادي سفار شها در این بحث قرار دارند. موضوع اصلی مسائل کنترل موجودي و برنامه ریزي براي تولید، بهین هیابی مقدار سفارش اقتصادي یا تعیین اندازه دسته تولید با توجه به ظرفی تها و محدودی تها به منظور کمین هکردن کل هزینه هاي مرتبط با سفارش، خرید، نگهداري و تحویل است. در همین راستا مدل مقدار سفارش اقتصادي2 به طور وسیعی براي تعیین اندازه سفارش و یا خرید قطعات در سیست مهاي تولیدي به کار می رود. این مدل با در نظر گرفتن نرخ تولید به صورت ثابت و مشخص به مدل مقدار اقتصاد ي تولید3 تعمیم یافته است. در نظر گرفتن کمبود مجاز به صورت فروش از
Email: [email protected] : 5559654-3620 ، نویسنده مسئول : تلفن 0263-4551022 : , فاکس *

قابلیتهاي این رویکرد میتوان به محدود نشدن در تعداد پارامترهاي ورودي مدل اشاره کرد .
نگی و لی [1]، مدل صفی را مورد بررسی قرار دادند که در آن پارامترهاي نرخ ورود و خروج مشتري به سیستم، فازي بوده و با روش برش آلفا فاکتورهاي بهینه مدل را تعیین کردند. حل نهایی مدل، شامل اعداد قطعی بود و نتوانست توصیف تابع عضویت پارامترهاي بهینه مدل را تعیین کند. ژائو-چان و همکاران [2]، با اریه مدلی فازي، سیستم صفی را مورد بررسی قرار دادند که در آن پارامترهاي نرخ ورود مشتریان به سیستم و زمان بیکاري سرویس دهنده به صورت عدد فازي ذوزنقهاي در نظر گرفته شده است و در نهایت با استفاده از روش برش آلفا و اصل گسترش زاده4 و حل مدل با استفاده از برنام هریزي غیرخطی پارامتریک5 ، پارامترهاي بهینه مدل را تعیین کردند. ژائو-چان و چن-هورنگ [3]، با ارایه مدلی فازي ،سیستم صفی را مورد بررسی قرار دادند که در آن نرخ ورود مشتریان به سیستم و نرخ سرویس دهی به مشتریان به صورت عدد فازي ذوزنقه اي در نظر گرفته شده و سرویس دهنده نیز غیر قابل اطمینان فرض می شود. در نهایت براي تعیین پارامترهاي بهینه مدل مسئله با استفاده از روش آلفا برش و اصل گسترش زاده با کمک برنامه ریزي غیر خطی فازي حل شده است. شه-پین ،]4[ با ارایه مدل صف با محدود بودن ظرفیت ورود مشتریان به سیستم، مدل صف فازي را ارایه کرد که در آن نرخ ورود مشتریان و نرخ سروی سدهی به مشتریان به صورت عدد فازي ذوزنقهاي در نظر گرفته شده و در نهایت با تعیین تابع عضویت با استفاده از روش برش آلفا و اصل گسترش زاده و حل آن با روش برنامه ریزي غیر خطی، پارامترهاي بهینه مدل را محاسبه کرد. شه-پین [5]، مدل صفی را ارایه کرد که در آن نرخ ورود مشتریان به سیستم، هزینه سرویس دهی به مشتریان و همچنین هزینه تأخیر در سرویس دهی به مشتریان به صورت عدد فازي ذوزنقهاي در نظر گرفته شده و با ادغام رو شهاي برش آلفا، اصل گسترش زاده و برنام هریزي صحیح غیرخطی، نرخ سرویس دهی مدل را با در نظر گرفتن یک تابع هزینه محاسبه کرد. شه-پین [6]، مدل صفی را ارایه کرد که در آن نرخ ورود و خروج مشتریان از سیستم عدد فازي ذوزنقهاي بوده و حالت سرویس دهی به مشتریان 6FCFS بوده و در نهایت مدل با استفاده از روش برش آلفا و اصل گسترش زاده و تلفیق آن با برنامه ریزي غیرخطی حلشده و فاکتورهاي بهینه مدل را محاسبه کرد. در-چن وژینگ-شینگ [7]، مدل مقدار تولید اقتصادي را با فرضمیزان تولید اقتصادي به صورت عدد فازي ذوزنقهاي موردبررسی قرار دادند و با استفاده از اصل گسترش زاده و دیفازي سازي مدل با روش مرکز ثقل میزان تولید اقتصادي را تعیین کردند. سان-چی [8]، مدل مقدار تولید اقتصادي را با فرض میزان تولید اقتصادي به صورت عدد فازي مثلثی مورد بررسی قرار داد و با استفاده از یک مدل هزینهاي و دیفاز يسازي با روش مرکز ثقل میزان تولید اقتصادي را محاسبه کرد. ژینگ-شینگ و ژرسان ،]9[ مدل مقدار سفارش اقتصادي را با فرض تقاضا و هزینه سفار شدهی به صورت عدد فازي مثلثی مورد بررسی قرار دادند و دیفاز يسازي با روش فاصله جهت دار و مرکز ثقل میزان سفارش اقتصادي و هزینه متغیر سالیانه را توسط این دو روش با یکدیگر مقایسه کردند. شیانگ-تاي ،]10[ با در نظر گرفتن دو عامل تقاضا و هزینه خرید در مدل ،مقدار سفارش اقتصادي به صورت عدد فازي مثلثی و با استفاده از روش برش آلفا و برنام هریزي غیر خطی تابع عضویت سود مدل را محاسبه کرد. هاي-مینگ و ژینگ-شینگ[11]، با فازي گرفتن مقدار تقاضا و نرخ تولید و قطعی در نظر گرفتن واحد هزینه سفارش دهی و هزینه نگهداري، با محاسبات پیچیده و دشوار و استفاده از روش دیفازي گشتاورها مقدار قطعی EPQ را به دست آوردند .یائو و لی 12[و31]، یائو و همکاران [41] و لی و یائو [51]، مقدار سفار شدهی(Q) را به صورت عدد فازي مثلثی و ذوزنقهاي، در نظر گرفته و با استفاده از اصل گسترش زاده، تابع عضویت هزینه کل موجودي را محاسبه کرده و سپس با استفاده از روش گشتاورها، مقدار هزینه کل موجودي را تخمین زدهاند. ووجسویک [61]، با به کارگیري روش هاي مختلف به تعیین مقدار سفارش اقتصادي در حالت فازي پرداخته و روش هاي دیفاز يسازي را با یکدیگر مقایسه م یکند. رو شهاي استفاده شده براي تعیین فاکتورهاي بهینه مدل روش هایی پیچیده و طولانی هستند2[و4و5و6]. حال اگر همه پارامترهاي مدل به صورت فازي در نظر گرفته شوند، پیچیدگی وفرایند حل مدل افزایش خواهد یافت [71]. شیشهبري و همکاران [81]، مدل EPQ را با رویکرد فازي با استفاده از روش برنامه ریزي غیرخطی و رو شهاي دیفازي سازي مورد بررسی قرار دادند و کارایی روش هاي دیفاز يسازي را با یکدیگر مقایسه کردند. چن و چانگ [91] مدل مقدار تولید اقتصادي را با درنظرگرفتن کالاي غیرقابل جایگزین معیوب در دو حالت نرخ تولید به صورت قطعی و فازي ذوزنقهاي ارایه کردند. مدل ارای هشده در حالتی که نرخ تولید قطعی است، با استفاده از اصل گسترش و روش مرکز ثقل، و در حالتی که نرخ تولید فازي است، با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ بررسی و حل شده است. ژرك [02] مدل مقدار تولید اقتصادي را با در نظرگرفتن سیکل تولید به صورت عدد فازي مثلثی مورد بررسی قرار داد .
مدل ارای هشده با استفاده از اصل گسترش و روش مرکز ثقل مورد بررسی قرار داده شده و نتایج حل عددي نشان میدهد که اندازه سیکل تولیدي در حالت فازي نسبت به حالت کلاسیک افزایش دارد. ژرك [12] مدل مقدار سفارش اقتصادي با کمبود را با در نظر گرفتن تقاضا و لیدتایم به صورت عدد فازي مثلثی مورد بررسی قرار داد و با استفاده از اصل گسترش و دیفاز يسازي با استفاده از روش فاصله جه تدار به محاسبه فاکتورهاي بهینه مدل پرداخت و همچنین با مثال عددي ثابت کرد که در حالت عدم قطعیت مقدار انباشته اقتصادي نسبت به حالت کلاسیک افزایش مییابد. یانگ [22] مدل مقدار تولید اقتصادي کلاسیک را با در نظر گرفتن هزینه راه اندازي ،نرخ تقاضا و نرخ تولید در حالت فازي ذوزنقهاي و حل مدل با استفاده از ضرایب لاگرانژ را مورد بررسی قرار داد و با به کارگیري اصل گسترش و روش ابتکاري جبري به محاسبه فاکتورهاي بهینه مدل پرداخت. هو و همکاران [32] مدل مقدار تولید اقتصادي براي اقلام معیوب را بررسی کردند که در آن نسبت اقلام معیوب به صورت عدد فازي در نظر گرفته شده است. در این بررسی دو مدل با فرض نرخ بازرسی بزرگ تر از نرخ تولید و برعکس ارایه شده است و در نهایت فاکتورهاي بهینه مدل با استفاده از اصل گسترش، روش فاصله جهتدار و روش جبري محاسبه شده است. رزمی و همکاران [42] مسئله انتخاب بهترین زنجیره تأمین در حالت فازي را با استفاده از روش تاپسیس فازي7 بررسی کردند و در نهایت مدل ارایه شده را با مثال عددي و آنالیز حساسیت پارمترها مورد تجزیه و تحلیل قرار دادند .
….. 161
مرور مقالات ذکر شده نشان میدهد که روشهاي تعیین فاکتورهاي بهینه در مدلهاي عنوان شده با افزایش تعداد پارامترهاي فازي به دلیل پیچیدگی محاسباتی ،کارآیی خود را از دست داده و در ضمن این رو شها قادر به تعیین سیاست بهینه مدل در سطوح مختلف برش آلفا نیستند و فقط با اختصاص یک عدد دیفازي شده به هر فاکتور بهینه به کار خود پایان می دهند. بنابراین در این مقاله با استفاده از ایده به کار رفته در مراجع 2[و4و5و6] براي حل مسائل سیستم هاي صف فازي یک مدل کنترل موجودي، با در نظر گرفتن روند تغییرات هزینه و مقدار اقتصادي سفارش در شرایط وجود افزایش معلوم قیمت کالا در مقاطع مشخص زمانی با لحاظ کردن همه پارامترها به صورت عدد فازي مثلثی ارایه شده است .فاکتورهاي بهینه مدل، با رویکردي ابتکاري از تلفیق روش برش آلفا و تکنیک برنام هریزي غیر خطی پارامتري در هر سطح برش آلفا تعیین شده و براي بررسی کارآیی روش ذکر شده، مقدار حاصل شده از این رویکرد، با رویکرد ارای هشده در مرجع 8[و9و61]، مقایسه شده است. این روش ابتکاري با تعیین تابع عضویت پارامترهاي بهینه مدل، سیاست بهینه براي گرفتن تصمیم را در هر سطح برش آلفا در اختیار تصمیم گیرنده قرار م یدهد .

تعریف مسئله: مدل مسئله در حالت قطعی
در این مدل، قیمت واحد کالا تابعی از تاریخ سفارش است. فرض کنیم قیمت واحد کالا تا تاریخ مشخص tp برابر با 0u و از تاریخ tp به بعد، به 1u م یرسد( .0u1>u). به شکل 1 که نشان دهنده مقدار (وضعیت) موجودي در مقابل زمان است توجه م یکنیم .
0u: قیمت واحد کالا تا تاریخ مشخص tp
1u: قیمت واحد کالا از تاریخ tp به بعد tf: آخرین زمان سفار شدهی قبل از تغییر قیمت tp: زمان تغییر در قیمت خرید کالا C: واحد هزینه سفار شدهی
D: نرخ تقاضا (مصرف) کالا Q: میزان سفارش خارج از نوبت tb: زمان اتمام موجودي سفارش خارج از نوبت ta: زمان اتمام موجودي کنونی hc: بخش ثابت هزینه نگهداري کالا t*: زمان صدور سفارش خارج از نوبت
i: نسبت بخش متغیر واحد هزینه نگهداري به قیمت کالا فرض کنیم در شرایطی که تغییر قیمت مطرح نباشد و سفار شها طبق معمول بر اساس قیمت 0u انجام شود ،آخرین سفارشی که قبل از تاریخ tp صادر م یشود، در تاریخ tf خواهد بود و موجودي سفارش tf به طور معمول تا تاریخ ta ادامه می یافت. حال با توجه به اینکه قرار است در تاریخ tp قیمت واحد کالا افزایش یابد، حالت معمول سفارش ها دستخوش تغییر شود؛ در اینجا این سؤال مطرح می شود که آیا صدور یک سفارش خارج از نوبت در تاریخی بین tf تا tp مقرون به صرفه است؟ در صورتی که جواب این سؤال مثبت باشد، سؤال دوم این است که مقدار سفارش اقتصادي این سفارش چه مقدار خواهد بود؟
به طور طبیعی صدور سفارش خارج از نوبت در تاریخی قبل از tf منطقی نخواهد بود. چون با انجام این چنین سفارشی، موجودي انبار و هزینه نگهداري زودتر از موعد منطقی بالا خواهد رفت. در صورتی که سفارش به صورت خارج از نوبت در تاریخ *t و به مقدار Q صادر شود ،موجودي مربوطه تا تاریخ tb در انبار باقی خواهد ماند. با مراجعه به شکل 1 به راحتی دیده می شود که:
ta=t*+IP(t

D*) (1)
در اینجا (*IP(t عبارت است از مقدار (وضعیت) موجودي در تاریخ *t است. همین طور داریم:
530352126024

Q (2)
tb=ta+D

شکل 1: کردار سطح موجودي-زمان در شرایط وجود تورم
قیمت و صدور سفارش خارج از نوبت

حال لازم است، صرفه جویی در قیمت را که با صدور سفارش خارج از نوبت در تاریخ *t حاصل م یشود محاسبه کنیم. صرف هجویی خالص حاصله عبارت است از مبلغ اینصرفه جویی که هزینه هاي سفار شدهی و نگهداريموجودي خارج از نوبت را از آن برداریم. اگر اینصرف هجویی خالص از هزینه هاي معمولی صدور سفارش ونگهداري در شرایط عدم صدور سفارش خارج از نوبت بیشتر باشد، طبیعی است که صدور این سفارش مقرون به صرفه خواهد بود. مقدار خالص صرف هجویی را با NS نشان می دهیم. هزین ههاي معمولی در صورت صاد رنشدن سفارش در تاریخ *t عبارتند از: هزین ههاي سفارش ها و نگهداري در فاصله زمانی ta تا tb.
با توجه به مدل کلاسیک سفارش اقتصادي موجودي ،جمع هزینه ها در واحد زمان در شرایط اقتصادي برابر با
2999232-9657

2.C.D.h√ خواهد بود. در صورتی که مقدار خالص صرفه جویی شده در اثر صدور سفارش خارج از نوبت را با NS نشان دهیم، خواهیم داشت:
NS =(صرفه جویی در قیمت خرید به اندازه Q) +
(صرفه جویی در هزین ههاي سفار شدهی و نگهداري در شرایط معمولی در فاصله زمانی ta تا tb)- (هزین ههاي نگهداري ایجاد شده در فاصله زمانی *t تا tb به دلیل خرید به مقدار Q)- (هزینه سفارش دهی در تاریخ *t)
(3)
در اینجا با توجه به اینکه تغییر قیمت مطرح است ،براي عمومیت بخشیدن به مدل، هزین ههاي نگهداري را
شامل دو بخش ثابت و متغیر در نظر می گیریم. در نتیجه در همه فرمول هاي مرتبط با این مدل، به جاي h عبارت hc+i.u قرار م یگیرد. حال با توجه به رابطه (3) داریم:
NS=Q.

-C
در عین حال می دانیم که

tb-ta= QD است و می تواند در رابطه (4) جایگزین شود. در رابطه (4) مقدار جمله سوم که مربوط به هزینه هاي نگهداري ایجاد شده در فاصله زمانی *t تا tb به علت خرید Q است، عبارت است از مساحت ذوزنقه ABCD است که در h ضرب شده است:
Q
SABCD=SABED

IP(t*)Q2
=Q.

+
D2.D
حال در رابطه (4) با گرفتن مشتق NS نسبت به Q و قرار دادن مشتق برابر با صفر، خواهیم داشت:

301749-7880

(10) c+i.u12.C.D
Q)
1471168-247748

uc+i.u0uc+i.u0uc+i.u1
الگوریتم حل مدل در حالت قطعی به صورت زیر است:
با استفاده از فرمول (6) مقدار *Q را در شرایطی که t*=tp است را به دست آورید. مقدار *Q حاصله Q*p نامیده م یشود. بار دیگر مقدار *Q را با استفاده از همین فرمول در شرایطی که t*=tf است محاسبه کنید. عدد به دست آمده Q*f نامیده م یشود.
با استفاده از فرمول (4) مقدار NS در شرایطی که t*=tp است محاسبه می شود، بار دیگر با استفاده از همین فرمول مقدار NS در شرایطی که t*=tf است محاسبه م یشود. اعداد حاصله به ترتیب NSp و NSf نامیده م یشود.
اگر مقدار 0>max NSf+C,NSp باشد، به قدم 4 مراجعه م یشود. در غیر این صورت، سفارش خارج از نوبت صادر نم یشود.
اگر NSf+C≤NSp باشد، سفارش خارج از نوبت در tp صادر م یشود. در غیر این صورت در tf صادر می شود
.[25-29]

مدل مسئله در حالت فازي
یکی از پرکاربردترین روش هاي در نظر گرفتن عدم قطعیت، استفاده از مفاهیم مجموعه هاي فازي است. به عبارت دیگر مهم ترین مزیت به کارگیري مجموع ههاي فازي این است که م یتوان پارامتر هاي مدل را به صورت بازهاي از مقادیر مورد انتظار در نظر گرفت؛ علاوه بر این در برخی از موارد پارامترهاي مدل به صورت متغیرهاي زبانی بیان می شوند که در این صورت به کارگیري مجموع ههاي فازي می تواند بسیار کمک کننده باشد؛ به عنوان مثال اگرعنوان شود که “هزینه نگهداري هر واحد کالا( h) بین 81% تا 53% ارزش هر واحد کالاست” و یا “هزینه سفار شدهی( C) این نوع کالا خیلی زیاد نیست” استفاده از مجموع ههاي فازي م یتواند بسیار سودمند باشد. در این مقاله براي تطابق بیشتر با واقعیت پارامترهاي 0u و 1u و D و hc و i و C و tp و s به صورت عدد فازي مثلثی در نظر گرفته شدهاند که نمایش فازي این پارامترها به صورت زیر است:
….. 361
u0={(u0 , μu0(x))|x∈X} i={(i , μi(z))|z∈Z} u1={(u1 , μu1(y))|y∈Y} C={(C , μC(w))|w∈W} D={(D , μD(u))|u∈U} tp={(tp , μtp(j))|j∈J} hc={(hc , μhc(v))|v∈V} s̃={(s , μs(r))|r∈R} (7)

در رابطه ،)7( X و Y و U و V و Z و W و J و R به ترتیب مجموعههاي قطعی از قیمت واحد کالا تا تاریخ tp، قیمت واحد کالا از تاریخ tp، به بعد، نرخ تقاضا، بخش ثابت واحد هزینه نگهداري، نسبت بخش متغیر واحد هزینه نگهداري (شامل هزینه سرمایه راکد)، هزینه هر بار سفار شدهی، زمان افزایش قیم تها و میزان سطح موجودي کنونی هستند. تابع NS(u0,u1,i,hc,D,C,Q) مقدار خالص صرف هجویی شده در اثرسفارش خارج از نوبت Q واحد از محصول را نشان م یدهد. در صورتی که 0 uو
1u و D و hc و i و C فازي باشند تابع عضویت مقدار خالص صرفه جویی شده در
اثر سفارش خارج از نوبت نیز فازي خواهد بود و بر اساس اصل گسترش زاده [13]، به صورت زیر تعریف م یشود:

μE(NS)=SUP min{μu0(x), μu1(y),
x∈X,y∈Y,u∈U, v∈V,z∈∈Z,w∈W μD(u), μhc(v),μi(z), μC(w)|NS=
813816-13475

Q.(u1-u0)+ 2.C.D.(hc+i.u1).
tb-t

D2.D -C}

با توجه به رابطه (8) تعیین شکل تابع هدف با استفاده از رو شهاي عنوان شده در مراجع 12[و13و41] دشوار بوده و نیاز به محاسبات پیچیده دارد؛ علاوه بر این هر چه تعداد پارامترهاي فازي افزایش یابد، پیچیدگی محاسباتی نیز افزایش خواهد یافت. این مقاله با به کارگیري برش آلفا و تکنیک برنامه ریزي غیرخطی پارامتري، شکل تابع عضویت بالا را به روش ساده تري تعیین م یکند و در نهایت با ارایه جواب به صورت بر شهاي یک عدد فازي در هر سطح برش تصمیم گیري واق عبینانهتري را با توجه به فازي بودن پارامترها در اختیار تصمیم گیرنده قرار م یدهد .

رویکرد اول حل: استفاده از تکنیک برش آلفا برش آلفا در مجموع ههاي فازي زیر مجموعهاي از عناصر آن است که درجه عضویت آنها بزر گتر یا مساوي آلفا است و به صورت Aα نشان داده م یشود:
Aα= x|μA(x)≥α

اگر در برش آلفا، زیر مجموعه عناصر با درجه عضویت بزرگ تر از آلفا تعیین شوند، به آن برش قوي آلفا گفته م یشود و به صورت A’α نشان داده می شود:
A’α= x|μA(x)>α

مجموع ههاي به دست آمده از برش آلفا و برش قوي آلفا مجموعه هاي کلاسیک هستند. م یتوان با استفاده از برش آلفا تابع عضویت مقدار خالص صرف هجویی شده در اثر سفارش خارج از نوبت ((μNS u0,u1,i,hc,D,C,Q را قطعی کرد. برش آلفا براي پارامترهاي فازي مورد استفاده در این مسئله به صورت زیر تعریف م یشود:

u0(α)={x∈X |μu0(x)≥ α} u1(α)={y∈Y |μu1(y)≥ α} D(α)={u∈U |μD(u)≥ α} hc(α)={v∈V |μhc(v)≥ α} i(α)={z∈Z|μi(z)≥ α}
C(α)={w∈W |μC(w)≥ α}

با توجه به اینکه پارامترهاي 0 uو 1u و D و hc و i و C فازي هستند، بنابراین برش آلفا از اعداد فازي ذکرشده ،فاصل ههایی به صورت قطعی ایجاد می کند که به صورت زیر تعریف م یشوند 11[و51]:

u0(α)=[minx∈X {x|μu0(x)≥α}, maxx∈X {x|μu0(x)≥α}] u1(α)=[miny∈Y {y|μu1(y)≥ α},maxy∈Y {y|μu1(y)≥ α}] D(α)=[min{u|μD(u)≥ α}, maxu∈U {u|μD(u)≥ α}]
u∈U hc(α)=[minv∈V {v|μhc(v)≥ α},maxv∈V {v|μhc(v)≥ α}] C(α)=[ wmin∈W {w|μC(w)≥ α},maxw∈W {w|μC(w)≥α}] i(α)=[minz∈Z {z|μi(z)≥ α}, maxz∈Z {z|μi(z)≥α}] (12)

بنابراین با استفاده از تکنیک برش آلفا؛ هر یک از پارامترهاي مدل موجودي مورد بررسی قطعی م یشوند .همچنین مدل فازي مورد بحث به ازاي بر شهاي مختلف آلفا تبدیل به مدلی قطعی می شود که پارامترهاي قطعی مدل به ازاي بر شهاي مختلف آلفا عبارتند از:
{u0(α)|0≤α≤1} {hc(α)|0≤α≤1}
{u1(α)|0≤α≤1} {i(α)|0≤α≤1}
{D(α)|0≤α≤1} {C(α)|0≤α≤1} (13)

براي تعیین تابع عضویت مقدار خالص صرف هجویی
شده در اثر سفارش خارج از نوبت ((μNS u0,u1,i,hc,D,C,Q (ϑ) باید یکی از عبار تهاي عنوا نشده در رابطه (31) در یکی از رابطه هاي زیر برآورده
محقق شود و μNS u0,u1,i,hc,D,C,Q (ϑ)=α شود تا تساوي
بتوان نقاط تابع عضویت مقدار خالص صرف هجویی شده دراثر سفارش خارج از نوبت را به ازاي بر شهاي مختلف آلفاتعیین کرده و تخمینی از شکل تابع عضویت NS به دستآورد. بنابراین با توجه به نکات ذکر شده داریم:
{μu0(x)= α,μu1(y)≥ α,μD(u)≥ α,μhc(v)≥ α,
μi(z)≥ α,μC(z)≥ α}
{μu0(x)≥α,μu1(y)= α,μD(u)≥ α,μhc(v)≥ α,
501898-8374

μi(z)
{μu0(x ≥α,μu1(y ≥ α,μD(u =α,μhc(v)≥ α, μi(z)≥ α,μC(z)≥ α}

= α,
μi(z)≥ α,μC(z)≥ α}
{μu0(x)≥ α,μu1(y)≥ α,μD(u)≥ α,μhc(v)≥ α,
μi(z)= α,μC(z)≥ α} {μu0(x)≥α,μu1(y)≥ α,μD(u)≥ α,μhc(v)≥ α, μi(z)≥ α,μC(z)= α} (14)

رویکرد برنام هریزي غیر خطی پارامتري
با توجه به رابطه (4) در تابع NS علاوه بر پارامترهاي فازي مسئله متغیر Q نیز ظاهر شده است، بنابراین ابتدا باید میزان این پارامتر با استفاده از بر شهاي آلفا تعیین شود و سپس اقدام به محاسبه عبارت NS کنیم. در ضمن عبارت به دست آمده براي پارامتر Q شامل متغیر (* IP(t است و بعد از محاسبه این عبارت می توانیم میزان عبارت Q را تعیین کنیم. بنابراین براي تعیین شکل تابع هدف باید مراحل زیر را طی کنیم:
مقدار عبارت (*IP(t را به ازاي مقادیر tp و tf به دست م یآوریم، به طوري که tp پارامتر ورودي از قبل تعیین شده مسئله است و tf با توجه به رفتار مدل و سایر پارامترهاي مسئله باید تعیین شود.
با استفاده از مقادیر به دست آمده در گام 1و جایگذاري آنها در تابع *Q به ازاي (*IP(t مقادیر Q*p و Q*f را تعیین می کنیم.
با استفاده از مقادیر به دست آمده از گام 2 و جایگذاري آنها در تابع NS به ازاي *Q مقادیر NSp و NSf را تعیین می کنیم .
بنا به روشی که در مراجع 2[و4و5و6] بیان شده است ،تابع عضویت هر یک از پارامترهاي مدل را می توان به صورت یک مدل غیرخطی مطابق با رابطه (41) نشان داد .ابتدا باید تابع عضویت مقدار سفارش اقتصادي( EOQ) را زمانی که هنوز قیمت ها تحت تورم افزایش نیافته، محاسبه کنیم. بنابراین با استفاده از روشی که در مراجع 2[و4و5و6] عنوان شده است مقدار این پارامتر برابر است با:

1827785-174208

633985-177256

l = w,u,v,min2v+z.x.w.u Euα= maxw,u,v,2v+z.x.w.u

z,x,∈R z,x,∈R Subjecto to: Subjecto to: w∈[wlα,wuα] w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα] v∈[vlα,vuα] ∈[,] ∈[,] (15)

پس از حل هریک از مد لهاي فوق مقادیر Elα و Euα به دست م یآید که این مقادیر به ترتیب ابتدا و انتهاي فاصله
قطعی براي [[Elα,Euα بوده که این فاصله برش آلفاهایی از است. براي تعیین تابع عضویت 0EOQu بنا به زیمرمن
[13] خواهیم داشت:

⎧L EOQu0 , EOQu01≤EOQu0≤EOQu02

μE EOQu0 = 1, EOQu02

⎪⎩U EOQu0 , EOQu02≤EOQu0≤EOQu03 (16)

به طوري که در رابطه ،)16( 1-(L EOQu0 =(Elα و 1-(U EOQu0 =(Euα برقرار است. اغلب، مقادیر 0EOQu را نمیتوان به سادگی با استفاده از رو شهاي معمول مانند روش گشتاورها تعیین کرد؛ در نتیجه نم یتوان یک تابع عضویت منسجم و معین براي 0EOQu به دست آورد. با
به کارگیري تکنیک برش آلفا م یتوان تقریبی از شک لهاي 0L EOQu و 0U EOQu را تعیین کرد. در بخش مربوط به الگوریتم حل، روشی براي محاسبه این فاکتور ارایه شده است. با توجه به پارامتر محاسبه شده در رابطه (51) و با در نظر گرفتن tp که جز پارامترهاي ورودي مدل است فاکتور tf را مطابق گا مهاي زیر محاسبه میکنیم:
1- ابتدا باید مقدار پارامتر ta را با توجه به رابطه زیر پیدا کنیم. در مدل کلاسیک ta= Ds اما در این مدل هردو فاکتور s (سطح موجودي کنونی) و D اعداد فازي مثلثی هستند ،بنابراین براي تعیین تابع عضویت این پارامتر داریم:

q
Flα= q,umin∈R u q
Fuα= q,umax∈R u
Subject to: Subject to:
q

q

u∈[ulα,uuα] u∈[ulα,uuα] (17)

….. 561
پس از حل هریک از مد لهاي فوق مقادیر Flα و Fuα به دست م یآید که این مقادیر به ترتیب ابتدا و انتهاي فاصله قطعی براي [[Flα,Fuα بوده که این فاصله؛ برش آلفاهایی از F است. براي تعیین تابع عضویت ta بنا به زیمرمن ]31[ خواهیم داشت:
L(ta), ta1≤ta≤ta2 μF(ta)= 1 ta2
U(ta), ta2≤ta≤ta3 (18)
2- در این مرحله باید زمانهاي سفارش دهی را تعیین کنیم تا با استفاده از این زما نها و مقایسه آنها با tp بتوانیم زمان tf یعنی آخرین زمان سفار شدهی را تشخیص دهیم. در مدل کلاسیک t= EOQ

D؛ اما در این مدل هر دو پارامتر صورت و مخرج فازي هستند. بنابراین تابع عضویت زمان سفار شدهی مطابق زیر تعریف م یشود:

2.w.u-2.w.u-
1848104-258725

533400-258725

Glα= w,u,v,minv+z.x G

v+z.x
z,x,∈R z,x,∈R Subject to: Subject to: w∈[wlα,wuα] w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα] z∈[zlα,zuα] x∈[xlα,xuα] x∈[xlα,xuα] (19)

پس از حل هر یک از مد لهاي فوق مقادیر Glα و Guα به دست م یآید که این مقادیر به ترتیب ابتدا و انتهاي فاصله قطعی براي Glα,Guα است. بنابراین تابع عضویت t مشابه روابط (61) و (81) به دست م یآید. حال فاصله زمانی بین سفار شها عبارت خواهد بود از:

ta,t+ta,t+2.ta,…

tf عبارت است از بزرگ ترین زمان سفار شدهی که کمتر یا مساوي tp است. بنابراین داریم:
tf=maxm (ta+m.t)≤tp , ∀ m=0,1,2,…

حال با محاسبه tf و با معلوم بودن tp میتوانیم تابع عضویت میزان سفارش خارج از نوبت و همچنین میزان خالص صرفه جویی ناشی از سفارش خارج از نوبت را تعیین نماییم. ابتدا به محاسبه تابع عضویت مقدار (وضعیت) موجودي در لحظه tp م یپردازیم:

596392-172360

l = w,u,v,z,min ( 2v+z.x.w.u -(j-k).u) Iα x,j,k ∈R
Subject to: w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα]
x∈[xlα,xuα]
j

k

(22)
620715-204071

Iuα

v+z.x .u) x,j,k ∈R
Subject to: w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα]
x∈[xlα,xuα]
j

k

(23)
پس از حل هر یک از مد لهاي فوق مقادیر Ilα و Iuα به دست م یآید که این مقادیر به ترتیب ابتدا و انتهاي فاصله قطعی براي Ilα,Iuα است. تابع عضویت (IP(tp نیز همانند قسمت هاي قبل تعیین م یشود. با توجه به شکل مشخص است که (IP(tf برابر با 0EOQu است بنابراین احتیاجی به محاسبه تابع عضویت آن نیست. حال می توان مقادیرتابع عضویت Qf و Qp را مطابق زیر تعیین کرد. ابتدا اقدام به محاسبه تابع عضویت Qp م یکنیم. بنابراین داریم:

1423355-206632

Hlα

v+z.xv+z.xv+z.yv+z.x.u] z,j,k,w∈R
Subject to: w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα] x∈[xlα,xuα]


k

y

(24)
677611-139891

u= y,x,u,v,max [(v+z.xy-x).u+v+z.yv+z.x.v+z.y2.w.u- v+z.x2.w.u+(j-k).u]

z,j,k,w∈R
Subject to: w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα] x∈[xlα,xuα]
j∈jlα,juα k

(25)

y پس از حل هریک از مدل هاي فوق مقادیر Hlα و Huαبه دست م یآید که این مقادیر به ترتیب ابتدا و انتهايفاصله قطعی براي [[Hlα,Huα است. همچنین براي تعیینتابع عضویت Qf مطابق زیر دازیم:

629896-157434

l = y,x,u,v,min [(v+z.xy-x).u+v+z.yv+z.x.2v+z.y.w.u -2v+z.x.w.u ]

z,w∈R Subject to: w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα] x∈[xlα,xuα]
y

(26)
629896-160297

u= y,x,u,v,max [(v+z.xy-x).u+v+z.yv+z.x.2v+z.y.w.u -2v+z.x.w.u ]

z,w∈R Subject to: w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα] x∈[xlα,xuα]
y

(27)
پس از حل هر یک از مدل هاي فوق مقادیر Llα و Luα به دست م یآید که این مقادیر به ترتیب ابتدا و انتهاي فاصله قطعی براي [[Llα,Luα بوده که این فاصله، برش آلفاهایی از L است. تابع عضویت Qf نیز همانند قسمت هاي قبل تعیین می شود. حال باید تاب عهاي عضویت میزان خالص صرف هجویی ناشی از سفارش خارج از نوبت در دو حالت tf و tp زا محاسبه کنیم. ابتدا تابع عضویت
NSp را تعیین می کنیم:
713208-158420

l = y,x,w,u,v,min [(v+z.xy-x).u +v+z.yv+z.x.2v+z.y.w.u-2v+z.x.w.u +

z,j,k∈R
2842443930

y-x
+
v+z.x
v+z.yy-x
+j-k)-(v +z.x).([+
58904-291337

v+z.xv+z.yv+z.xv+z.x
v+z.y2.w.u
402312-668224

..u]+ v+z.x v+z.y v+z.x v+z.x
2
)
236704-167704

.[)-w
v+z.xv+z.xv+z.yv+z.x
Subject to: w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα] x∈[xlα,xuα]

k

y

(28)
709107-158365

u= y,x,w,u,v,max [(v+z.xy-x).u +v+z.yv+z.x.2v+z.y.w.u -2v+z.x.w.u +

z,j,k∈R
4362747009

y-x
+
v+z.x
60899-105323

v+z.yy-x
+j-k)-(v +z.x).([+
404307-290290

v+z.xv+z.yv+z.xv+z.x
v+z.y2.w.u
60899-160193

..u]+
v+z.xv+z.yv+z.xv+z.x
2.w2.w
)-w
2v+z.xv+z.xv+z.yv+z.x
Subject to: w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα] x∈[xlα,xuα]

(29)

y پس از حل هر یک از مد لهاي فوق مقادیر Pαl و Pαu به دست م یآید که این مقادیر به ترتیب ابتدا و انتهاي فاصله قطعی براي [[αlP,Pαu است. حال تابع عضویت NSf را محاسبه م یکنیم. بنابراین داریم:
632907-138656

= y,x,w,min [(v+z.xy-x).u+v+z.yv+z.x .v+z.y2.w.u- v+z.x2.w.u].(y-x)+

v,z,u∈R

)- v+z.xv+z.xv+z.yv+z.x

2243267-145670

]+ v+z.xv+z.xv+z.yv+z.xv+z.x
2
2.w2.w
] )-w
60899-222880

2v+z.xv+z.yv+z.x
Subject to: w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα] x∈[xlα,xuα] y

(30)
….. 761
609600-136627

l = y,x,w,min [(v+z.xy-x).u+v+z.yv+z.x .v+z.y2.w.u- v+z.x2.w.u].(y-x)+

v,z,u∈R

)-
v+z.xv+z.xv+z.yv+z.x

]+
2215896-216841

v+z.xv+z.xv+z.yv+z.xv+z.x
2
2.w2.w
] )-w
31496-223957

2v+z.xv+z.yv+z.x
Subject to: w∈[wlα,wuα] u∈[ulα,uuα] v∈[vlα,vuα] z∈[zlα,zuα] x∈[xlα,xuα] y

(31)
پس از حل هر یک از مد لهاي فوق مقادیر Mlα و Muα به دست م یآید که این مقادیر به ترتیب ابتدا و انتهاي فاصله قطعی براي [[Mlα,Muα بوده که این فاصله؛ برش آلفاهایی از M است. تابع عضویت NSf نیز همانند قسمت هاي قبل تعیین م یشود .

الگوریتم حل مدل با توجه به رویکرد اول
مقدارهاي ورودي: قیمت خرید کالا قبل و بعد از تغییر قیمت به ترتیب 0u و 1u، نرخ تقاضا D، بخش ثابت هزینه نگهداري hc، نسبت بخش متغیر واحد هزینه نگهداري به قیمت واحد کالا i، هزینه سفارش دهی C، سطح موجودي کنونی s و زمان تغییر در قیمت خرید کالا tp.
مقدارهاي خروجی: بر شهاي آلفاي هر یک از متغیرهاي ورودي و همچنین بر شهاي آلفاي مربوط به tf و (IP(tf و (IP(tp و Qf و Qp و NSf و NSp.
براي پارامتر α از صفر تا یک گا مهاي 2 تا 14را تکرار کنید.
پارامترهاي زیر را محاسبه کنید.
xlα=(x2-x1).α+x1 ; xuα=x3-(x3-x2).α ylα

-y2 .α
9753066942

ul =(u -u ).α+u ; uu=x -(u -u ).α
v
zlα=(z2-z1).α+z1 ; zuα=z3-(z3-z2).α wlα=(w2-w1).α+w1 ; wuα=w3-(w3-w2).α qlα= q2-q1 .α+q1 ; quα=q3- q3-q2 .α
jlα

-j2 .α
براي wlα تا wuα گا مهاي 4 تا 11 را تکرار کنید.
براي ulα تا uuα گا مهاي 5 تا 11 را تکرار کنید.
براي vlα تا vuα گا مهاي 6 تا 11 را تکرار کنید.
براي zlα تا zuα گا مهاي 7 تا 11 را تکرار کنید.
براي ylα تا گا مهاي 8 تا 11 را تکرار کنید.
براي qlα تا quα گا مهاي 9 تا 11را تکرار کنید.
براي jlα تا juα گا مهاي 01 تا 11 را تکرار کنید.
01- براي xlα تا xuα گام 11را تکرار کنید.
11- پارامترهاي زیر را محاسبه کنید .
11888767298El =arg{min E(w,u,v,z,x)}
131085232748E =arg{max E(w,u,v,z,x)} Gl =arg{min G(w,u,v,z,x)}
109783229551G =arg{max G(w,u,v,z,x)} Fl =arg{min F(q,u)}
F =arg{max F(q,u)}
∀ :m,juα
8238167039Il =arg{min I(w,u,v,z,x,j,k)}
128080226450I =arg{max I(w,u,v,z,x,j,k)} Hl =arg{min H(w,u,v,z,x,y)}
115882229456H =arg{max H(w,u,v,z,x,y)} Ll =arg{min L(w,u,v,z,x,y,j,k)}



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید