نشریه تخصصی مهندسی صنایع، دوره 45، شماره 1، فروردین ماه 1390، از صفحه 1 تا 11 طراحی طرح کنترل ترکیبی با استفاده از دو نمودارکنترل EWMA

امیر آذرشب*1، حسن جوانشیر2 و سعداله ابراهیم نژاد3
کارشناس ارشد دانشگاه آزاد اسلامی – واحد نجف آباد- دانشکده تحصیلات تکمیلی – گروه مهندسی صنایع
استادیار دانشگاه آزاد اسلامی- واحد تهران جنوب- دانشکده فنی و مهندسی- گروه مهندسی صنایع
استادیار دانشگاه آزاد اسلامی – واحد کرج- دانشکده فنی و مهندسی- گروه مهندسی صنایع
(تاریخ دریافت 10/6/87 ، تاریخ دریافت روایت اصلاح شده 21/7/89 ، تاریخ تصویب 30/1/90 )

چکیده
نمودار کنترل شوهارت یکی از انواع رایج نمودارهاي کنترل است. با این حال، نمودار کنترل شوهارت، داراي این عیب اساسی است که تنها آخرین اطلاعات به دست آمده از فرایند را مورد توجه قرار می دهد، بنابراین این نمودار نسبت به کشف تغییرات کوچک، غیر حساس است.
نمودارهاي کنترل میانگین متحرك موزون نمایی و جمع تجمعی نمودارهایی هستند که با توجه به در نظر گرفتن اطلاعات گذشته فرایند می توانند براي کشف تغییرات کوچک مورد استفاده قرار گیرند. از این رو، استفاده از یک طرح کنترل ترکیبی که قادر به کشف همزمان تغییرات کوچک و بزرگ باشد، ضرورتی انکار ناپذیر دارد. براي این منظور از طرح هاي کنترل ترکیبی استفاده می شود، در این تحقیق، هدف طراحی یک طرح کنترل ترکیبی، با بهکارگیري همزمان دو نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمائی براي کشف همزمان تغییرات کوچک و بزرگ است. معیار بهینه سازي در این طرح متوسط طول اجراست. بر این اساس طراحی این طرح به یک مدل بهینه سازي چند هدفه تبدیل می گردد که با حل آن پارامترهاي طرح به دست میآید. براي محاسبه متوسط طول اجرا از رویکرد زنجیرههاي مارکوف استفاده شده و با استفاده از یک مثال عددي کارایی طرح پیشنهادي نشان داده شده است.

واژه هاي کلیدي: نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی ، متوسط طول اجرا ، رویکرد زنجیرههاي مارکوف، بهینه سازي چند هدفه، نمودار کنترل ترکیبی مقدمه* نویسنده مسئول : تلفن : 44508279 , فاکس : 44922190 ، Email: [email protected]
نمودارهاي کنترل از مهم ترین ابزارهاي کنترل کیفیت آماري هستند که هدف از به کارگیري آنها رسیدن به سطح مطلوب اطمینان، سهولت در قضاوت و توسعه مطالعات کیفی است. نمودارهاي کنترل در ابتدا به وسیله والتر شوهارت معرفی گردیدند [1]. وي استفاده از نمودارهاي کنترل را در سه مورد زیر مفید می داند.
تعیین حدود یا پارامترهاي رسیدن به هدف
ابزارهاي مفید براي رسیدن به هدف
روشی براي ارزیابی فرآیند
بنابراین، نمودارهاي کنترل ابزارهایی هستند که در زمینه هاي مشخصات، تولید و بازرسی مورد استفاده قرار می گیرند و زمانی که نمودارهاي کنترل به کار گرفته می شوند، این سه مرحله از زنجیره تولید را براي تحلیل فرآیند، گردهم می آورند.

نمودارهاي کنترل که به وسیله والتر شوهارت معرفی گردید در کشف تغییرات بزرگ موثر هستند و به نمودارهاي کنترل شوهارت1 معروفند. سپس پیچ در سال 1954 نمودار کنترل جمع تجمعی2 (Cumulative Sum) [2] و رابرتس در سال 1959 نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی3 (Exponentially Weighted Moving Average) [3] را معرفی کردند که این دو نمودار در کشف تغییرات کوچک موثر می باشند.
در این تحقیق هدف ارائه طرحی است که تغییرات کوچک و بزرگ را به صورت همزمان کشف کند.

مروري بر ادبیات موضوع
نمودارهاي کنترل
نمودار کنترل شوهارت که در سال 1931 بوسیله والتر شوهارت ارائه گردید [1]، تنها آخرین اطلاعات مربوط به فرایند را براي تصمیم گیري در خصوص فرایند مد نظر قرار می دهد و از اطلاعات موجود در آخرین نقطه رسم شده استفاده می کند به عبارت دیگر اطلاعاتی که نقاط مشترکا با هم می توانند منعکس کنند نادیده گرفته می-شود. همین مساله این نمودار را نسبت به کشف تغییرات کوچکتر از σ2 ناتوان نموده است.
اگر پی بردن به وجود تغییرات کوچک مورد نظر باشد نمودار کنترل جمع تجمعی و میانگین متحرك موزون نمایی می توانند جایگزین خوبی براي نمودار کنترل شوهارت باشند . نمودار کنترل جمع تجمعی براي اولین بار در سال 1954 در انگلستان توسط پیج ارائه گردید[2] و پس از آن توسط مؤلفان و محققان زیادي تحت مطالعه و بررسی قرار گرفت. این نمودار میانگین بدون وزنی از داده هاي گذشته را بکار می برد و داراي یک حافظه بلند مدت است. عملکرد نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی حدوداً با عملکرد نمودار کنترل جمع تجمعی یکسان است و از بعضی جهات نیز تهیه و استفاده از آن ساده می باشد. این نمودار در ابتدا بوسیله رابرتس در سال 1959 معرفی گردید [3] و پس از آن تعداد بسیاري از محققان در مورد این نوع از نمودار به تحقیق و مطالعه پرداختند.

نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی
آماره میانگین متحرك موزون نمایی در سال 1959 به وسیله رابرتس به صورت زیر تعریف شده است [3] :

Zt xt  (1)Zt1 (1)

در این رابطه  داراي مقدار ثابتی بین 10 است. مقدار اولیه براي Zt که در زمان نمونه اول از آن
استفاده می شود برابر است با : 0Z0 
از رابطه فوق مشخص است که چرا میانگین متحرك موزون نمایی را به عنوان میانگین متحرك موزون نمایی نامگذاري می کنند که این مساله به خاطر کاهش وزن ها در قالب یک سري هندسی است.
اگر 1، آنگاه آماره میانگین متحرك موزون نمایی تمام وزن را به مشاهدات آخر اختصاص می دهد در این حالت نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی همانند یک نمودار کنترل شوهارت عمل می کند. در صورتیکه 0، آنگاه مشاهدات اخیر وزن کمی دریافت می کنند، درحالیکه وزن مشاهدات قبلی تنها با گذشت عمر آنها کاهش می یابد در این حالت نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی نظیر یک نمودار کنترل جمع تجمعی عمل می کند.
از آماره EWMA به دو منظور استفاده می شود [4]:
در جداول کنترل [5،6،7،8،9].
در پیش بینی سري هاي زمانی [10،11].
اخیراً این آماره به طور گسترده اي براي اهداف تنظیم و کنترل فرایند مهندسی4 مورد استفاده قرار می گیرد [12،31،41،51،61،17].
لوکاس و ساکوچی در سال 1990 خصوصیات نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی را بیان نمودند و آنرا با نمودار کنترل جمع تجمعی مقایسه کردند. نتایج تحقیقات آنها نشان داد که خصوصیات نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی، بسیار به خصوصیات نمودار کنترل جمع تجمعی نزدیک است. آنها نشان دادند که، نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی، متوسط طول اجراي کمتري نسبت به نمودار کنترل جمع تجمعی نشان می دهد [18].

طرح هاي کنترل ترکیبی
طرح هاي کنترل ترکیبی از محاسبات موازي براي هر کدام از اجزاء تشکیل می گردد و زمانی یک حالت خارج از کنترل اعلام می گردد که هر یک از اجزاء طرح ترکیبی، به نشانه اي مبنی بر حالت خارج از کنترل برسند.
طرح هاي ترکیبی متشکل از نمودارهاي کنترل شوهارت و جمع تجمعی را می توان از اولین موارد طرح هاي کنترل دانست . وستگارد و همکاران در سال 1977 براي اولین بار طرح کنترل ترکیبی شوهارت – جمع تجمعی را بر اساس شبیه سازي ارائه نمودند [19]. آنها احتمال یک سیگنال خارج از کنترل را براي یک سري با N نمونه (30N 1) شبیه سازي کردند.
لوکاس در سال 1982 طرح کنترل ترکیبی شوهارت – جمع تجمعی را بر پایه متوسط طول اجرا ارائه نمود
[20]. او براي این منظور از رویکرد زنجیره هاي مارکوف استفاده کرد. لوکاس نشان داد که طرح کنترل ترکیبی شوهارت – جمع تجمعی، تغییرات بزرگ را بهتر از نمودار کنترل جمع تجمعی استاندارد کشف می کند و حدوداً عملکردي به خوبی رویکرد جمع تجمعی سهمی وار5 دارد. رویکرد جمع تجمعی سهمی وار در سال 1973 توسط لوکاس ارائه شد[21]. این طرح همچنین تغییرات کوچک را بهتر از نمودار کنترل شوهارت استاندارد کشف می کند. لوکاس نشان داد که می توان از ویژگی واکنش اولیه سریع6 در این طرح کنترل ترکیبی استفاده کرد. ویژگی واکنش اولیه سریع یا آغاز سریع7 در سال 1982 توسط لوکاس و کروزیر ارائه شد [22]. ویژگی واکنش اولیه سریع به طرز محسوسی حساسیت طرح را بهبود می دهد. علاوه بر طرح کنترل شوهارت – جمع تجمعی، می توان از ترکیب نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی با نمودار کنترل شوهارت به طرح هاي ترکیبی دیگري نیز دست یافت. این طرح ترکیبی به وسیله لوکاس و ساکوچی در سال 1990 ارائه شد [18]. آنها طرح کنترل ترکیبی شوهارت – میانگین متحرك موزون نمایی را بر پایه متوسط طول اجرا ارائه کردند، و براي محاسبه متوسط طول اجرا از رویکرد زنجیره هاي مارکوف استفاده کردند.
آنها نشان دادند که این طرح ترکیبی تغییرات کوچک و بزرگ را به طور همزمان کشف می کند.

(Average Run Length) 8متوسط طول اجرا
به منظور مقایسه یک نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی با یک طرح دیگر، یا به منظور طراحی یک نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی، نیازمند به داشتن اطلاعات مربوط به توزیع طول اجرا9 مربوط به آن هستیم.
رابرتس در سال 1959 متوسط طول اجرا را که جزئی از خواص آزمایشهاي نمودارهاي کنترل مبتنی بر مقادیر متوسط به دست آمده از مقادیر متوسط متحرك معمولی10 و آزمایشهاي نمودارهاي کنترل استاندارد بود با فرض یک فرآیند نرمال و طبیعی مورد مقایسه قرار داد.
او نتایج حاصله را با منحنی هاي متوسط طول اجرا11 مبتنی بر نتایج شبیه سازي ارائه نمود و با مقایسه آن با نمودار کنترل شوهارت به این نتیجه رسید که نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی بهبودي در نمودارهاي کنترل استاندارد x

شوهارت در تشخیص تعییرات نسبتاً بزرگ در مقدار متوسط فرآیند ایجاد نمی کند، اما براي تغییرات نسبتاً کوچک، نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی از حساسیت بسیار بالاتري نسبت به نمودار کنترل x

شوهارت برخوردار است [3].
رابینسون و هو در سال 1978 یک روش عددي12 براي تقریب زدن متوسط طول اجرا متعلق به یک نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی ارائه نمودند [23].
کرودر در سال 1987 مقادیر متوسط طول اجرا را براي نمودارهاي کنترل میانگین متحرك موزون نمایی یک طرفه و دو طرفه، با استفاده از یک روش عددي مبتنی بر معادلات انتگرالی مرتبه دوم فردهولم به دستآورد و نتایج را در قالب جداولی براي مقادیر مختلف L و  ارائه نمود [24] .
لوکاس و ساکوچی در سال 1990 مقادیر متوسط طول اجرا را براي نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی، با استفاده از رویکرد زنجیره هاي مارکوف13 و با فرض نرمال بودن توزیع آن به دست آوردند [18] و نتایجی مشابه رابرتس و کرودر به دست آوردند . روش استفاده از زنجیره هاي مارکوف که لوکاس و ساکوچی از آن استفاده کردند مشابه روش بروك و ایوانز بود که در سال 1972 براي به دست آوردن مقادیر متوسط طول اجراي نمودار کنترل جمع تجمعی به کار بردند [25]، این روش ساده تر و کاملتر از روشهاي قبلی می باشد. آنها براي این منظور به صورت زیر عمل کردند :

رویکرد زنجیره هاي مارکوف

شکل1: نمایی از نحوه محاسبه ARL نمودار هاي کنترل با استفاده از رویکرد زنجیره هاي مارکوف.

(2) Z1t 1xt 11Z1t1 در این روش همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است ناحیه بین حدود کنترل بالا و پایین به r قسمت فرضی تقسیم می شود (1 +r = 2m ) که عرض هر قسمت w2 فرض می شود.
132016113823

h (h)  h w= (3)
2rr
آماره )Zt ( در زمان t در موقعیت موقت j است اگر:
cj  w  Zt  cj  w
j= -m,-m+1,…, +m
که در آن cj مرکز نقطه اي از بازه فرضی j ام است و خط بالا و پائین آن عبارتست از:
Lj  cj  w U j  c j  w (6)
cj h 2 j 1w
بردار احتمال اولیه به صورت زیر تعریف می شود:

П=PTint = (P-m , …, P-1 , P0 , P1 , …. Pm |0)
= ( PT |0)

که در آن Pj بیانگر احتمال آن است که z در وضعیت j باشد.
حالت خارج از کنترلa = لازم به ذکر است که Pa برابر با صفر است زیرا آماره کنترل در آغاز تحت کنترل فرض شده است.
Q (I Q)J P= 0T J  (9)

که در آن Q زیر ماتریس شامل احتمالات رفتن از یک وضعیت به وضعیت دیگر (در حالت تحت کنترل) است، I ماتریس یکه است و J یک بردار ستونی با درایه هاي 1 است.
Pij بیانگر احتمال این است که آماره کنترل از وضعیت i بلافاصله به وضعیت j برود و به صورت زیر محاسبه میشود :
Pij  PLj  Zt U j

PLj xt (1)Zt1 U j
cj w(1)cicj w(1)ci 
479870-35049

P xt 

(10)

2 xt ~ N (,

)
n
 c j  w(1)ci  Pij 




c j w(1)ci  (11)
Qrr [Pij ] (12)
J 1
 I Q 0

احتمال قرار گرفتنt x در یکی از حدود = 
ARL I Q1J

مدلسازي طرح EWMA-EWMA :
براي به کارگیري همزمان دو نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی نیاز به تعیین پارامترهاي طرح داریم و به منظور اینکه طرح عملکرد بهتري داشته باشد نیاز به به دست آوردن پارامترهاي بهینه طرح داریم، بنابراین طرح به یک مدل بهینه سازي تبدیل می گردد.

توابع هدف و محدودیت ها
توابع هدف : توابع هدف این طرح شامل توابع هدفی است که متوسط طول اجراي طرح ترکیبی را در حالت خارج از کنترل به ازاي تغییرات مختلف در میانگین فرایند حداقل کند، که در نتیجه باعث حداقل شدن خطاي نوع دوم طرح می شود، و طرح به یک مدل بهینه سازي چند هدفه تبدیل می گردد که براي حل آن از روش هاي L-P متریک و توابع سازگار استفاده شده است و شرح آن در پیوست آمده است.
محدودیت اول : براي رسیدن به حد مورد نظر خطاي نوع اول به طور معمول متوسط طول اجراي طرح ترکیبی را روي یک مقدار معین فیکس می کنند. که این مقدار توسط تصمیم گیرنده14 (Decision Maker) تعیین می شود.
محدودیت هاي دوم و سوم : براي رسیدن به متوسط طول اجراي مورد نظر براي طرح ترکیبی و همچنین براي عملکرد مناسب هر نمودار و توازن بین آنها نیاز داریم تا خطاي نوع اول هر یک از نمودارها بیشتر از یک مقدار تعیین شده نباشد و هر یک از نمودارها داراي حداقل مقدار متوسط طول اجراي قابل قبول در حالت تحت کنترل باشند، که این مقدار حداقل توسط DM تعیین می شود.
محدودیت هاي چهارم و پنجم : محدودیت هاي چهارم و پنجم مربوط به ضرایب هموارسازي دو نمودار ( 2و1) می شود و همانطور که قبلاً ذکر شد مقداري بین صفر و یک دارند.

مدل ریاضی
Min Zm  ARLm ,overal (15) , m = 1,…,k Subject to:
ARLooveral  ARLt arg et ARLo1  ARLmin ARLo2  ARLmin (16)
0 1 1

0 2 1
ARLm ,overal , ARLooveral , ARLo1 , ARLo2  0

ARL : متوسط طول اجرا.
oARL : متوسط طول اجرا در حالت تحت کنترل است.
ARLm ,overal : متوسط طول اجراي طرح ترکیبی در حالت خارج از کنترل به ازاي تغییر m در میانگین فرایند.
ARLooveral : متوسط طول اجراي طرح ترکیبی در حالت تحت کنترل.
1oARL : متوسط طول اجراي نمودار اول در حالت تحت کنترل.
2oARL : متوسط طول اجراي نمودار دوم در حالت تحت کنترل.
ARLtarget : متوسط طول اجراي مورد نظر براي طرح ترکیبی در حالت تحت کنترل.
ARLmin : حداقل متوسط طول اجراي مورد نظر در حالت تحت کنترل براي هر نمودار.

k : تعداد شیفت مورد نظر.
 : فاصله شیفت هاي مورد نظر.
m : مجموعه شیفت هاي مورد نظر که اعضاي آن ضرایبی از  هستند.
1 : ضریب هموار سازي نمودار کنترل اول (متغیر تصمیم اول).
2 : ضریب هموار سازي نمودار کنترل دوم (متغیر تصمیم دوم).
1L : ضریب حدود انحراف معیار نمودار کنترل اول (متغیر تصمیم سوم).
2L : ضریب حدود انحراف معیار نمودار کنترل دوم
(متغیر تصمیم چهارم).

روش محاسبه

مهمترین معیار کارایی نمودارهاي کنترل و همچنینمهمترین معیار براي مقایسه آنها با یکدیگر متوسط طول اجرا (ARL) می باشد.
متوسط طول اجرا در حالت تحت کنترل عبارت از تعداد نمونه هاي گرفته شده از فرایند تا مشاهده اولین حالت خارج از کنترل است. به همین دلیل مقادیر بزرگ ARL براي حالت تحت کنترل مطلوب می باشد، و بالعکس براي حالت خارج از کنترل مقادیر کوچک ARL مطلوب است تا حالت هاي خارج از کنترل به سرعت کشف و اعلام گردد.
در حالت کلی متوسط طول اجرا به این صورت محاسبه می گردد:
ARL

1
(رسم یک نقطه خارج از کنترل)p

در صورتیکه فرایند تحت کنترل باشد داریم :
ARL

1

و اگر فرآیند خارج از کنترل باشد آنگاه :
ARL

1 (19)
1
: خطاي نوع اول
: خطاي نوع دوم
خطاي نوع اول () : خطاي نوع اول عبارتست از : احتمال رسم اشتباهی یک نقطه خارج از حدود کنترل (زنگ خطر اشتباه) یا به عبارت دیگر خطاي نوع اول ریسک رسم یک نقطه در پشت حدود کنترل می باشد، در حالیکه هیچگونه انحراف با دلیلی وجود ندارد .
خطاي نوع دوم () : خطاي نوع دوم عبارتست از : احتمال پی نبردن به وجود یک تغییر در میانگین یا به عبارت دیگر خطاي نوع دوم ریسک رسم یک نقطه بین حدود کنترل می باشد زمانیکه فرآیند در حالت خارج از کنترل به سر می برد .
همانطور که ذکر شد براي محاسبه متوسط طول اجراي نمودار کنترل میانگین متحرك موزون نمایی روشهاي مختلفی وجود دارد که در این تحقیق از ساده ترین و بهترین روش یعنی رویکرد زنجیره هاي مارکوف استفاده شده است.

(20) (1Z2t 2 xt (12)Z2(tبراي محاسبه متوسط طول اجراي طرح ترکیبی نیاز به تعمیم رویکرد زنجیره هاي مارکوف از حالت تک بعدي به حالت دو بعدي داریم، در این روش همانطور که در شکل 2 مشاهده می شود فرض بر این است که دو نمودار
کنترل روي هم قرار گیرند. بنابراین (P(ij),(kl احتمال این است که آماره کنترل از وضعیت i در نمودار اول و j در نمودار دوم بلافاصله به وضعیت k در نمودار اول و l در نمودار دوم برود و به صورت زیر محاسبه می شود :

P(ij),(kl) P(Lk Z1t Uk )(Ll Z2t Ul )
(21)
838009-43337

(Lk 1xt  (11)ci Uk )
 P
(Ll 2 xt  (12)cj Ul ) 
40214654788

Lk 11ciUk 11ci  
P 1 xt 1
402146-7113

Ll 122cj  xt Ul 12 2c j  
(22)

اگر:
61913167560

316382419556311290942002075

21259802002075

18808072486326

تعمیم رویکرد زنجیره هاي مارکوف (23) 1Lk 11ci A
1
61913160010

Uk 11c
i A2 (24)
1
Ll 12 c

j  A3
2
Ul 12 c



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید